5群馬大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $1!=1$ より $$\displaystyle I_1=\int_0^a(a-x)e^x\,dx =\left[(a-x+1)e^x\right]_0^a =e^a-a-1.$$ (2) $0<a\le1$ および $0\le x\le a$ から $0\le e^x\le e^a$、$0\le a-x\le a$ である。したがって $$\displaystyle 0\le I_n\le\frac{e^a}{n!}\int_0^a(a-x)^n\,dx =\frac{e^a a^{n+1}}{(n+1)!} \le\frac{e}{(n+1)!}\longrightarrow0.$$ よって $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}I_n=0$。 (3) 部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} (n+1)!I_{n+1} &=\int_0^a(a-x)^{n+1}e^x\,dx\\ &=\left[(a-x)^{n+1}e^x\right]_0^a +(n+1)\int_0^a(a-x)^ne^x\,dx\\ &=-a^{n+1}+(n+1)!I_n. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle I_{n+1}=I_n-\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}.$$ (4) これを $n=1,\ldots,N-1$ について足すと $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^N\frac{a^n}{n!} =a+\sum\limits _{n=1}^{N-1}(I_n-I_{n+1}) =a+I_1-I_N.$$ (2)より $N\to\infty$ とすると $I_N\to0$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!} =a+I_1=e^a-1.$$