2富山大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{gathered} S_n=\int_0^\pi\sin^n x\,dx,\quad c=1+\frac\pi2=\frac{\pi+2}{2}.\\ 対称性から\quad \int_0^\pi x\sin^n x\,dx=\frac\pi2S_n,\quad I_n=\frac cnS_n.\\[3pt] 部分積分により\quad S_n=\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^\pi+(n-1)\int_0^\pi\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx\\ =(n-1)(S_{n-2}-S_n),\quad S_n=\frac{n-1}{n}S_{n-2}.\\[3pt] S_1=2,\quad S_2=\frac\pi2\quad\text{より}\quad I_1=\pi+2,\quad I_2=\frac{\pi(\pi+2)}8.\\ I_n=\frac{c(n-1)}{n^2}S_{n-2}=\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}I_{n-2}\quad(n\ge3).\\[3pt] P_n=S_{n-1}S_n:\quad P_2=\pi,\quad P_3=\frac{2\pi}{3},\quad P_n=\frac{n-2}{n}P_{n-2}\ (n\ge4),\quad P_n=\frac{2\pi}{n}\ (n\ge2).\\ I_{n-1}I_n=\frac{c^2P_n}{n(n-1)}=\frac{\pi(\pi+2)^2}{2n^2(n-1)}.\\[3pt] J_n=\int_0^\pi(1+x)\sin^n x\,dx\quad\text{より}\quad 0<J_n<J_{n-1},\\ I_n=\frac{J_n}{n}<\frac{J_{n-1}}n<\frac{J_{n-1}}{n-1}=I_{n-1}.\\[3pt] r_n=\frac{S_n}{S_{n-1}}:\quad S_m<S_{m-1}\ (m\ge1),\quad r_nr_{n-1}=\frac{n-1}{n}\quad\text{より}\quad \frac{n-1}{n}<r_n<1,\quad r_n\to1.\\ nS_n^2=n(S_{n-1}S_n)r_n=2\pi r_n\to2\pi,\\ \text{したがって}\quad n^3I_n^2=c^2nS_n^2\longrightarrow2\pi c^2=\frac{\pi(\pi+2)^2}{2}. \end{gathered}$$