富山大学 2022年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

富山大学2022年度第1問

n は自然数とする。次の問いに答えよ。

(1) 4^{3n-2}-1 を9で割ると3余ることを示せ。

(2) n^3+3n^2+2n-3 は5の倍数でないことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad 4^{3n-2}-1\equiv3\pmod 9.$
$(2)\quad n^3+3n^2+2n-3\not\equiv0\pmod 5.$

解答を見る途中式つきの解答

(1) 自然数 $n$ は正なので $4^{3n-2}-1=4(4^3)^{n-1}-1.$ $4^3=64\equiv1\pmod 9$ より、 $4(4^3)^{n-1}-1\equiv4-1\equiv3\pmod9$ 。したがって余りは3である。

(2) $n$ を5で割った余りを $r$ とする。このとき $n^3+3n^2+2n-3\equiv r^3+3r^2+2r-3\pmod5.$ $r=0,1,2,3,4$ に対する右辺の余りは順に $2,3,1,2,2$ で、どれも0ではない。よって元の式は5の倍数ではない。

この問題で使う考え方

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。