3富山大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $$\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+3a^2)-2x(x+a)}{(x^2+3a^2)^2}=-\frac{(x+3a)(x-a)}{(x^2+3a^2)^2}.$$ $(x^2+3a^2)^2>0$ であり、$f'$ の符号は $$x<-3a:\ - ,\quad-3a<x<a:\ + ,\quad x>a:\ -$$ となる。 よって $f$ は $x\le-3a$ で減少、$-3a\le x\le a$ で増加、$x\ge a$ で減少する。 $$\displaystyle f(-3a)=\frac{-2a}{12a^2}=-\frac1{6a},\qquad f(a)=\frac{2a}{4a^2}=\frac1{2a}.$$ したがって最小値は $\displaystyle -\frac1{6a}$（$x=-3a$）、最大値は $\displaystyle \frac1{2a}$（$x=a$）。

(2) $$\displaystyle f(f(x))=0\quad\text{すなわち}\quad f(x)=-a\quad\text{すなわち}\quad \frac{x+a}{x^2+3a^2}=-a.$$ 分母は正なので、これは $$ax^2+x+a+3a^3=0$$ と同値である。 この二次方程式が実数解をもつ条件は $$\Delta=1-4a(a+3a^3)=1-4a^2-12a^4\geq0$$ である。 $t=a^2>0$ とおくと $$\displaystyle 12t^2+4t-1\leq0\quad\text{すなわち}\quad -\frac12\leq t\leq\frac16.$$ よって $\displaystyle 0<a\leq\frac1{\sqrt6}$。

(3) (1)より $f$ の値域は $\displaystyle -\frac1{6a}\le y\le\frac1{2a}$ である。この範囲を $J$ とする。したがって $f(f(x))$ の最大・最小は、この範囲の $y$ における $f(y)$ の最大・最小である。 (2)の範囲では $\displaystyle -\frac1{6a}<a\leq\frac1{2a}$ なので $a$ は範囲 $J$ に含まれる。ゆえに最大値は $\displaystyle f(a)=\frac1{2a}$。 $$\displaystyle -3a\text{ が範囲 }J\text{ に含まれる}\quad\text{すなわち}\quad -\frac1{6a}\leq-3a\quad\text{すなわち}\quad a^2\leq\frac1{18}\quad\text{すなわち}\quad a\leq\frac1{3\sqrt2}.$$ この場合、$J$ 内に $f$ の最小点 $-3a$ があるから、最小値は $\displaystyle f(-3a)=-\frac1{6a}$。 一方、$\displaystyle \frac1{3\sqrt2}<a\leq\frac1{\sqrt6}$ なら $J$ は $-3a$ より右にあり、$f$ は $\displaystyle -\frac1{6a}\le y\le a$ で増加し、$\displaystyle a\le y\le\frac1{2a}$ で減少する。したがって最小値は両端の値の小さい方である。 $$\displaystyle f\left(-\frac1{6a}\right)=\frac{6a(6a^2-1)}{1+108a^4}\leq0,\qquad f\left(\frac1{2a}\right)>0,$$ より最小値は $\displaystyle f(-\frac1{6a})=\frac{6a(6a^2-1)}{1+108a^4}$ である。