1藤田医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 小さい順に並べたとき，中央値は中央の2値の平均である。

$0\le x\le24$ なら並びは $x,24,49,55$ なので中央値は $36.5$。$24\le x\le49$ なら中央値は $(x+49)/2$ であり，$x=24,25,\ldots,49$ に対して $36.5,37,\ldots,49$ の26通りをとる。$49\le x\le55$ なら中央値は $(49+x)/2$ であり，$49,49.5,\ldots,52$ の7通りをとる。$x\ge55$ では中央値は常に52で，すでに含まれている。二つの列は49だけ重なるから，求める個数は $26+7-1=32$ 通りである。

(2) $2019!$ に含まれる因数5の個数を数える。$5,25,125,625$ の倍数からそれぞれ重複しない分を数えると $$\displaystyle \left\lfloor\frac{2019}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2019}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2019}{125}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2019}{625}\right\rfloor=403+80+16+3=502.$$ したがって末尾の0は502個である。

(3) $x>0$ より相加相乗平均を用いると $$\displaystyle 4x+\frac1x\ge2\sqrt{4}=4,$$ 等号は $4x=1/x$，すなわち $x=1/2$ のとき成立する。また $$\displaystyle 16x^2+\frac1{8x^4}=8x^2+8x^2+\frac1{8x^4}\ge3\sqrt[3]{(8x^2)(8x^2)\frac1{8x^4}}=6.$$ 等号は $8x^2=1/(8x^4)$，すなわち $x=1/2$ のとき成立する。よって最小値は順に4，6である。

(4) $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AB}=(u_1,u_2)$、$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AC}=(v_1,v_2)$ とおく。三角形 $ABC$ の面積は正なので、$\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ は平行でない。よって平面上の点 $X$ に対し $\overrightarrow{AX}=s\boldsymbol{u}+t\boldsymbol{v}$ となる係数 $(s,t)$ が一意に定まる。内分比から、この係数で表すと $$\displaystyle A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1),\quad P=\left(\frac16,0\right),\quad Q=\left(\frac56,\frac16\right),\quad R=\left(0,\frac56\right).$$ 直線上の点は両端点の係数の一次結合で表せるから、$AQ,BR,CP$ 上の点 $(s,t)$ はそれぞれ $$s=5t,\qquad 5s+6t=5,\qquad 6s+t=1$$ を満たす。これらを2本ずつ連立して $$\displaystyle S=\left(\frac{25}{31},\frac5{31}\right),\quad T=\left(\frac1{31},\frac{25}{31}\right),\quad U=\left(\frac5{31},\frac1{31}\right).$$ 面積比を確認する。任意の係数 $p,q,h,k$ について、座標による三角形の面積公式に現れる式を展開すると $$(pu_1+qv_1)(hu_2+kv_2)-(pu_2+qv_2)(hu_1+kv_1) =(pk-qh)(u_1v_2-u_2v_1).$$ $[ABC]=|u_1v_2-u_2v_1|/2$ であり、$\overrightarrow{ST}=(-24\boldsymbol{u}+20\boldsymbol{v})/31$、$\overrightarrow{SU}=(-20\boldsymbol{u}-4\boldsymbol{v})/31$ である。したがって $[STU]$ にも同じ $|u_1v_2-u_2v_1|/2$ が掛かり、面積比は $$\displaystyle \frac{[STU]}{[ABC]} =\left|\left(-\frac{24}{31}\right)\left(-\frac4{31}\right) -\left(\frac{20}{31}\right)\left(-\frac{20}{31}\right)\right| =\frac{496}{961}=\frac{16}{31}.$$

(5) 右・左・上・下への1回の移動確率はそれぞれ $1/6,1/3,1/6,1/3$ である。2回後に原点に戻るには，右左，上下のいずれかの逆向きの組を順序を含めて選ぶので $$\displaystyle 2\left(\frac16\frac13\right)+2\left(\frac16\frac13\right)=\frac29.$$ 4回後は，各方向の回数が逆向き同士で等しい必要がある。右2回・左2回の場合は並べ方が $4!/(2!2!)=6$ 通りで，各列の確率は $\displaystyle \left(\frac16\right)^2\left(\frac13\right)^2=\frac1{324}$。上2回・下2回も同じく6通りである。さらに右・左・上・下を1回ずつ含む場合は24通りで，各列の確率は$\displaystyle \frac1{324}$である。したがって $$\displaystyle \frac{6+6+24}{324}=\frac19.$$

(6) 共有点の $x$ 座標を $r$ とする。2曲線の傾きはそれぞれ $3r^2-2r+2$ と $r$ だから，直交条件は $$r(3r^2-2r+2)=-1,\quad (3r+1)(r^2-r+1)=0.$$ $r^2-r+1$ の判別式は $-3<0$ なので，実数解は $r=-1/3$ だけである。共有点条件を整理した式は $\displaystyle r^3-\frac32r^2+2r+k=0$ だから $$\displaystyle k=-r^3+\frac32r^2-2r=\frac1{27}+\frac16+\frac23=\frac{47}{54}.$$ この $k$ のとき交点方程式は $$\displaystyle \left(r+\frac13\right)\left(r^2-\frac{11}{6}r+\frac{47}{18}\right)=0.$$ 後者の判別式は $-255/36<0$ であるため，共有点は実際に1つだけである。

(7) 与えられた2式をそれぞれ平方して加え，加法定理を用いると $$\displaystyle \frac{37}{16}=(\sin\alpha+\sin\beta)^2+(\cos\alpha+\cos\beta)^2=2+2\cos(\alpha-\beta).$$ よって $\cos(\alpha-\beta)=5/32$。

(8) $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA},\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB},\boldsymbol{c}=\overrightarrow{OC}$ とし，成分をそれぞれ $(a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2)$ とする。条件から $\boldsymbol{c}=-(5/2)\boldsymbol{a}-(5/4)\boldsymbol{b}$ である。座標による三角形の面積公式に代入し展開すると $$\displaystyle 2[ABC]=|(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(b_2-a_2)(c_1-a_1)|=\frac{19}{4}|a_1b_2-a_2b_1|=\frac{19}{4}\,2[OAB].$$ したがって $[OAB]/[ABC]=4/19$。

(9) 商の微分より $$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(e^x+1)-e^xe^x}{(e^x+1)^2}=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}.$$ $e^{\log 5}=5$ だから $f'(\log5)=5/36$。

(10) $|60z-2|=1$ は $|z-1/30|=1/60$ と同値である。この円は原点を通らないため $z\ne0$。$P$ と $Q$ は同じ半直線上にあり $|z||w|=1$ なので $w=z/|z|^2$，すなわち $z=w/|w|^2$ である。$z=x+iy,w=u+iv$ として元の円の式を $$\displaystyle |z|^2-\frac1{15}\operatorname{Re}z+\frac1{1200}=0$$ と書き，$z=w/|w|^2$ を代入して $|w|^2$ を掛けると $$|w|^2-80\operatorname{Re}w+1200=0,$$ すなわち $(u-40)^2+v^2=400$ となる。したがって $Q$ の軌跡は半径20の円である。