3藤田医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $n=1$ のとき $S_1(1)=1=1\cdot2/2$ で成り立つ。$n$ で成り立つと仮定すると $$\displaystyle S_1(n+1)=S_1(n)+(n+1)=\frac{n(n+1)}2+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$ よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で $S_1(n)=n(n+1)/2$ が成り立つ。　 (2) $n=1$ のとき $S_2(1)=1=1\cdot2\cdot3/6$ で成り立つ。$n$ で成り立つと仮定すると $$\displaystyle \begin{aligned} S_2(n+1)&=S_2(n)+(n+1)^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2\\ &=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}6\\ &=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6. \end{aligned}$$ これは $n+1$ を代入した式である。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ で $S_2(n)=n(n+1)(2n+1)/6$ が成り立つ。　 (3) (1)(2)を用いて $S_3,S_4$ を求める。恒等式 $$k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4k-1$$ を $k=1,2,\ldots,n$ について加えると，左辺の中間項が消えて $n^4$ となり， $$n^4=4S_3(n)-6S_2(n)+4S_1(n)-n.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} 4S_3(n)&=n^4+6S_2(n)-4S_1(n)+n\\ &=n^4+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n\\ &=n^2(n+1)^2, \end{aligned} \qquad S_3(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$ 次に $$k^5-(k-1)^5=5k^4-10k^3+10k^2-5k+1$$ を同様に加えると $$n^5=5S_4(n)-10S_3(n)+10S_2(n)-5S_1(n)+n.$$ よって，既に得た式を代入して整理すれば $$\displaystyle \begin{aligned} 5S_4(n)&=n^5+10S_3(n)-10S_2(n)+5S_1(n)-n\\ &=n^5+\frac52n^2(n+1)^2-\frac53n(n+1)(2n+1)+\frac52n(n+1)-n\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}6. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} =S_2(n)\left(\frac35n(n+1)-\frac15\right) =S_2(n)\left(\frac65S_1(n)-\frac15\right).$$ よって実数定数 $a=6/5,b=-1/5$ を選べば，すべての自然数 $n$ について求める等式が成り立つ。例えば $n=1$ では両辺が1となることも確かめられる。