I横浜市立大学 2019年 数学 第I問解答・解説

以下の問いに答えなさい。ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。 　 (1) 正の約数の個数が10個である2桁の自然数をすべて求めなさい。 　 (2) 漸化式 $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2na_{n}+3},\qquad a_{1}=1$$ で定められる数列 $a_{n}$ の一般項を $n$ の式で表しなさい。ただし，$n$ は1以上の自然数とします。 　 (3) $$\displaystyle \frac{1}{\tan\frac{\pi}{24}}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$$ は整数です。その値を求めなさい。 　 (4) $b,c$ を実数とし，$f(x)=x^{2}+bx+c$ とします。また，$g(x)$ を $$\begin{cases} g(x)=-1 & (x\leq -1\text{ のとき}),\\ g(x)=x & (x>-1\text{ のとき}) \end{cases}$$ と定めます。$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフが異なる2点で接するとき，$b$ と $c$ の値を求めなさい。