II横浜市立大学 2019年 数学 第II問解答・解説

(1) 分母はすべて正であり、x-1>0 だから、両辺に x-1 を掛けて比較してよい。このとき $$\displaystyle \frac{xyz-1}{yz}<\frac{xyz}{(y-1)(z-1)}.$$ 左辺は $xyz-1<xyz$ より $x$ より小さい。また、$yz-(y-1)(z-1)=y+z-1>0$ なので、右辺は $$\displaystyle \frac{xyz}{(y-1)(z-1)}=x\frac{yz}{(y-1)(z-1)}>x.$$ よって元の不等式が成り立つ。

(2) $D=(x-1)(y-1)(z-1)>0$ とおく。まず $$xyz-1-D=xy+yz+zx-x-y-z=(xy-x-y)+z(x+y-1)>0,$$ である。実際、$xy-x-y=(x-1)(y-1)-1\ge 3>0$ であり、$z(x+y-1)>0$ だから、$(xyz-1)/D>1$ である。

一方、$x,y,z$ はこの順に異なる3以上の奇数なので、$x\ge3, y\ge5, z\ge7$ である。したがって $$\displaystyle \frac{xyz-1}{D}=\frac{x}{x-1}\frac{y}{y-1}\frac{z}{z-1}-\frac1D <\frac32\cdot\frac54\cdot\frac76=\frac{35}{16}<3.$$ よって示された。

(3) $g(x)=0$ の解を小さい順に $x<y<z$ とする。解と係数の関係から $$A=-(x+y+z),\qquad B=xy+yz+zx,\qquad C=-xyz.$$ ゆえに $$A+B+C+1=-(x-1)(y-1)(z-1),$$ また、$(A+B+2C+2)-(A+B+C+1)=1-xyz$ である。条件 (ii) の整数を $K$ とすると $$\displaystyle K=1+\frac{xyz-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}.$$ (2)より $2<K<4$ だから、整数 $K$ は $3$ である。したがって $$xyz-1=2(x-1)(y-1)(z-1).$$ $q=(x-1)(y-1)$、$p=2q-xy=(x-2)(y-2)-2$ とおくと、この等式は $zp=2q-1=p+xy-1$ となる。$x\ge3, y\ge x+2\ge5$ なので $p=(x-2)(y-2)-2\ge1$ であり、 $$\displaystyle z=1+\frac{xy-1}{p}.$$ $x\ge5$ と仮定すると $y\ge7$ である。このとき $$(y-1)p-(xy-1)=x(y^2-4y+2)-2y^2+4y-1 \ge 3y^2-16y+9=(y-7)(3y+5)+44>0.$$ よって $(xy-1)/p<y-1$ となり、$z<y$ を得るが、これは $y<z$ に反する。したがって $x=3$ である。この場合 $p=y-4$、$2q-1=4y-5$ だから $$\displaystyle z(y-4)=4y-5,\qquad z=4+\frac{11}{y-4}.$$ $y\ge5$ より $y-4$ は正の整数であり、$z$ が整数であるため $y-4$ は $11$ の正の約数である。したがって $y-4=1$ または $11$。前者は $(y,z)=(5,15)$ を与え、後者は $(y,z)=(15,5)$ となって $y<z$ に反する。よって根は $3,5,15$ であり、 $$g(X)=(X-3)(X-5)(X-15)=X^3-23X^2+135X-225.$$ したがって $A=-23, B=135, C=-225$ である。この値では条件 (ii) の分子・分母はそれぞれ $-336,-112$ で、その比は $3$ となり、条件も満たす。