横浜市立大学 2019年数学第III問解答・解説

場合の数と確率数列

このページには広告が含まれます。

1問題

横浜市立大学2019年度第III問

以下の問いに答えなさい。　 (1) 平面上に3本の直線を引くとき，下図のようにすれば，平面を7つの領域に分割することができます。

右下がりの2本と右上がりの1本の直線が互いに異なる3点で交わり、中央に小さな三角形を作っている。三角形の内部には5、周囲の領域には左上1、上2、右上3、左4、右下6、下7と記されている。

平面上に5本の直線を引くとき，平面を最大でいくつの領域に分割することができますか。答えのみ記しなさい。　 (2) $n$ を2以上の自然数とします。平面上に $n$ 本の直線を引くとき，それらの交点の数は最大でいくつですか。 $n$ を使った式で表しなさい。　 (3) $n$ を自然数とします。平面上に $n$ 本の直線を引くとき，平面を最大でいくつの領域に分割することができますか。 $n$ を使った式で表しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

一般の位置にある直線配置を考える。交点は直線2本の組を数え、領域数は直線を1本ずつ追加して増加する領域の数を足す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 16
$\displaystyle (2)\;\frac{n(n-1)}{2}$
$\displaystyle (3)\;\frac{n(n+1)}{2}+1$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 16。

(2) どの2本も平行でなく、3本以上が同一点を通らないように直線を引けば、2直線の各組は異なる1点で交わる。したがって交点の最大数は $\displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.$ (3) 最初の直線で平面は2領域に分かれる。一般の配置では、第 $k$ 本目の直線はそれまでの $k-1$ 本と異なる点で交わるため、 $k$ 個の部分に分かれ、領域を $k$ 個増やす。よって、領域数の最大値は $\displaystyle 1+\sum\limits _{k=1}^{n}k=1+\frac{n(n+1)}{2}.$ この配置は、各直線が既存の交点を通らず、既存の直線とも平行でないように順に選ぶことで実現できる。

この問題で使う考え方

組合せ
等差数列の一般項と和
漸化式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。