IV横浜市立大学 2019年 数学 第IV問解答・解説

(1) $t=\tan x$ とおく。もとの被積分関数が定義される範囲では $\cos x\ne0$ かつ $\sin x\ne0$ であり、 $$\displaystyle dt=\frac{dx}{\cos^2x},\qquad \sin x\cos x=t\cos^2x$$ だから $$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x\cos x}=\int\frac{dt}{t}=\log|t|+C=\log|\tan x|+C.$$ ここで $\log$ は自然対数である。

(2) $\sin x\ne0$ の範囲で、積の微分法と合成関数の微分法を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} \left(\frac{\cos x}{\sin^n x}\right)' &=(-\sin x)\sin^{-n}x+\cos x\cdot(-n)\sin^{-n-1}x\cos x\\ &=-\frac{\sin^2x+n\cos^2x}{\sin^{n+1}x}. \end{aligned}$$

(3) $n\ge3$ とし、$\sin x\cos x\ne0$ の範囲で $$\displaystyle \left(-\frac{1}{(n-1)\sin^{n-1}x}\right)' =\frac{\cos x}{\sin^n x}$$ となる。右辺の原始関数を足した式を微分すれば $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{(n-1)\sin^{n-1}x} +\int\frac{dx}{\sin^{n-2}x\cos x}\right) &=\frac{\cos x}{\sin^n x}+\frac{1}{\sin^{n-2}x\cos x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\sin^n x\cos x}\\ &=\frac{1}{\sin^n x\cos x}. \end{aligned}$$ 両辺の導関数が等しいので、積分定数を除いて、問題の不定積分の等式が成り立つ。

(4) (3) に $n=3$ を入れ、(1) を使うと $$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^3x\cos x} =-\frac{1}{2\sin^2x}+\log|\tan x|+C.$$ $\pi/6\le x\le\pi/3$ では $\tan x>0$ なので、絶対値を外して端点を代入できる。 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{\sin^3x\cos x} &=\left[-\frac{1}{2\sin^2x}+\log(\tan x)\right]_{\pi/6}^{\pi/3}\\ &=\left(-\frac23+\frac12\log3\right) -\left(-2-\frac12\log3\right)\\ &=\boxed{\frac43+\log3}. \end{aligned}$$