2佐賀大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$a>1$ とし、 $$\displaystyle f(x)=a\sin x+\frac{a}{a-1}\cos x\qquad(0\le x\le\pi)$$ とおく。

(1) 回転体の体積

各 $x$ で曲線と $x$ 軸の間にある線分を $x$ 軸のまわりに回転すると、半径 $|f(x)|$ の円板ができる。曲線が軸の上側・下側のどちらにあるかによらず、断面積は $\pi f(x)^2$ なので $$\displaystyle V=\pi\int_0^\pi f(x)^2\,dx.$$ 展開し、$\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\int_0^\pi\cos^2x\,dx=\pi/2$ および $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\cos x\,dx=[\sin^2x/2]_0^\pi=0$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi f(x)^2\,dx &=a^2\int_0^\pi\sin^2x\,dx +\frac{2a^2}{a-1}\int_0^\pi\sin x\cos x\,dx +\frac{a^2}{(a-1)^2}\int_0^\pi\cos^2x\,dx\\ &=\frac{\pi}{2}\left(a^2+\frac{a^2}{(a-1)^2}\right). \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle V=\frac{\pi^2}{2}\left(a^2+\frac{a^2}{(a-1)^2}\right) =\frac{\pi^2a^2\bigl((a-1)^2+1\bigr)}{2(a-1)^2}.$$

(2) 最小値

$V$ は正定数 $\pi^2/2$ と $$\displaystyle g(a)=a^2+\frac{a^2}{(a-1)^2}\qquad(a>1)$$ の積である。微分すると $$\displaystyle \begin{aligned} g'(a) &=2a+\frac{d}{da}\bigl(a^2(a-1)^{-2}\bigr)\\ &=2a+2a(a-1)^{-2}-2a^2(a-1)^{-3}\\ &=2a-\frac{2a}{(a-1)^3} =\frac{2a\bigl((a-1)^3-1\bigr)}{(a-1)^3}. \end{aligned}$$ $a>1$ では $2a$ と $(a-1)^3$ は正である。よって $g'(a)$ の符号は $(a-1)^3-1$ の符号と同じであり、これは $a=2$ で負から正に変わる。従って $V$ は $1<a<2$ で減少し、$a>2$ で増加するから $a=2$ で最小となる。その値は $$\displaystyle V(2)=\frac{\pi^2}{2}\left(4+4\right)=4\pi^2.$$

答 $$\displaystyle (1)\quad V=\frac{\pi^2a^2\bigl((a-1)^2+1\bigr)}{2(a-1)^2},\qquad (2)\quad a=2\text{ のとき最小値 }4\pi^2.$$

各xで曲線とx軸に挟まれる縦線分を回転すると半径|y|の円板になるため、体積はπ∫₀^π y²dxである。二乗を展開し、sin²とcos²の積分がともにπ/2、sin x cos xの積分が0であることからV=π²/2(a²+a²/(a−1)²)。g(a)=a²+a²/(a−1)²を微分するとg′(a)=2a((a−1)³−1)/(a−1)³。a>1では分母と2aが正で、符号は(a−1)³−1で決まる。a=2の前後で負から正へ変化するのでそこで最小となり、V(2)=4π²。