1佐賀大学 2019年 数学 第1問解答・解説

全組合せは $\displaystyle \binom{10}{3}=120$。当たりがちょうど1本の場合、当たりから1枚とはずれから2枚を選ぶので $$\displaystyle P_1(t)=\frac{\binom t1\binom{10-t}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{t(10-t)(9-t)}{240}\quad(0\le t\le10).$$ 端点 $t=0,9,10$ でも式は0となり、場合数と一致する。

当たり0本の確率は $\displaystyle P_0(t)=\binom{10-t}{3}/120=(10-t)(9-t)(8-t)/720$。従って $$\displaystyle P(t)=P_0(t)+P_1(t)=\frac{(10-t)(9-t)(t+4)}{360}.$$ よって $P(t)\le1/2$ は整数 $0\le t\le10$ で $$(10-t)(9-t)(t+4)\le180$$ と同値。左辺を $t=0,1,\ldots,10$ で評価すると $360,360,336,294,240,180,120,66,24,0,0$。したがって条件を満たすのは $$t=5,6,7,8,9,10.$$

10枚中t枚が当たりのくじから3枚を戻さず引く。ちょうど1本当たりの確率 $\displaystyle P_1(t)=\frac{t(10-t)(9-t)}{240}$。1本以下の確率 $\displaystyle P(t)=\frac{(10-t)(9-t)(t+4)}{360}$。$\displaystyle P(t)\leq\frac12$ となる整数は $t\in\{5,6,7,8,9,10\}$。