3信州大学 2019年 数学 第3問解答・解説

各組では $c=a+b$ と決まる。$a,b$ は正の整数で $a<b$ だから $c=a+b>b$ となり、$a<b<c$ は自動的に満たされる。したがって、条件を満たす $(a,b,c)$ の個数は、$a<b$ かつ $a+b\le n$ を満たす $(a,b)$ の個数に等しい。固定した $a$ に対し $b$ は $a+1\le b\le n-a$ を満たすので、その個数は $n-2a$ である。この範囲が空でない条件は $a+1\le n-a$、すなわち $\displaystyle 1\le a\le\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ である。

(1) $n=8$ のとき、$a=1,2,3$ について $b$ の個数はそれぞれ $6,4,2$ だから、合計は $6+4+2=12$ 通り。

(2) $n$ を偶数 $n=2m$（$m\ge2$）とすると、$\displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m-1}(2m-2a)=2\sum\limits _{k=1}^{m-1}k=m(m-1)$ 通り。$n$ を奇数 $n=2m+1$（$m\ge1$）とすると、$\displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}(2m+1-2a)=m(2m+1)-m(m+1)=m^2$ 通り。偶数の場合は $\displaystyle \left\lfloor\frac{(n-1)^2}{4}\right\rfloor=m(m-1)$、奇数の場合は $\displaystyle \left\lfloor\frac{(n-1)^2}{4}\right\rfloor=m^2$ であるから、一般には $\displaystyle \left\lfloor\frac{(n-1)^2}{4}\right\rfloor$ 通り。