4信州大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{まず }I=\int_0^1 f(t)\,dt\text{ とおく。与式の変数を }t\text{ に替え、}0\le t\le1\text{ の範囲で積分すると} \begin{aligned} I&=\int_0^1\left(t^2-\frac{3t}{5}I+4\right)dt\\ &=\frac13-\frac{3I}{10}+4=\frac{13}{3}-\frac{3I}{10}. \end{aligned} \text{したがって }\frac{13}{10}I=\frac{13}{3}\text{ より }I=\frac{10}{3}\text{、ゆえに} f(x)=x^2-2x+4,\qquad f'(x)=2x-2. \text{(1) 接点の }x\text{ 座標を }a>0\text{ とする。直線 }y=mx\text{ が }x=a\text{ で接する条件は} f(a)=ma,\quad f'(a)=m\text{ である。}a>0\text{ なので }f(a)/a=f'(a)\text{ とでき、} \begin{aligned} a^2-2a+4&=a(2a-2),\\ a^2&=4. \end{aligned} \text{条件 }a>0\text{ から }a=2\text{。よって }m=f'(2)=2\text{ で、接点は }(2,f(2))=(2,4)\text{。} \text{(2) }f(x)-2x=(x-2)^2\ge0\text{ であり、曲線と直線は }x=2\text{ で接する。縦線 }x=1\text{ と合わせて囲む部分は }1\le x\le2\text{ にあり、その面積は} \begin{aligned} S&=\int_1^2\bigl(f(x)-2x\bigr)\,dx =\int_1^2(x-2)^2\,dx\\ &=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_1^2=\frac13. \end{aligned}$$