5信州大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1)　 R(t)=$\displaystyle \frac{(1+t)^a}{1+t^a}$　(t$\ge$ 0) とおく。$t>0$ では $$\displaystyle \frac{R'(t)}{R(t)} =\frac{a}{1+t}-\frac{at^{a-1}}{1+t^a} =\frac{a(1-t^{a-1})}{(1+t)(1+t^a)}.$$ 分母は正であり、$a>1$ より $0<t<1$ では $R'(t)>0$、$t>1$ では $R'(t)<0$ である。したがって R は $t=1$ で最大となる。$t=0$ では $R(0)=1$ であり、$R(1)=2^{a-1}>1$ だから、 $$\displaystyle \sup\limits _{t\ge0}R(t)=R(1)=2^{a-1}.$$ よって不等式を満たす最小の K は $2^{a-1}$ である。 (2)　 $0\leq x\leq\pi$ では $t=\sqrt[5]{1+\sin x}\geq0$ である。(1) に $a=10$ を適用すると $$\left(1+\sqrt[5]{1+\sin x}\right)^{10} \le 2^9\left(1+\left(\sqrt[5]{1+\sin x}\right)^{10}\right) =512\left(1+(1+\sin x)^2\right).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi\left(1+\sqrt[5]{1+\sin x}\right)^{10}\,dx &\le512\int_0^\pi(2+2\sin x+\sin^2x)\,dx\\ &=512\left(2\pi+4+\frac{\pi}{2}\right) =512\left(\frac{5\pi}{2}+4\right). \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle \int_0^\pi\sin x\,dx=2$、また $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ より $\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\pi/2$ を用いた。与えられた $\pi<3.15$ から $$\displaystyle 512\left(\frac{5\pi}{2}+4\right) <512\left(\frac{5\cdot3.15}{2}+4\right) =512\cdot11.875=6080.$$ ゆえに求める不等式が成り立つ。