3東京医科歯科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $f$ の自然な定義域は $x>-1$ であり、 $$\displaystyle f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{1+x}.$$ したがって $f$ は $-1<x<0$ で減少し、$x>0$ で増加する。また $f(0)=0$、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to-1+}f(x)=\infty$ である。問題文で許された極限から $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)/x=1$ なので、$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=\infty$。 よって $f$ の最小値は $0$ であり、$f(x)=p$ の実数解の個数は $$\begin{cases} 0&(p<0),\\ 1&(p=0),\\ 2&(p>0). \end{cases}$$

(2) $a=g(p)$ とおくと $a\geq0$ かつ $p=a-\log(1+a)$ である。 $\log(1+a)\geq0$ より $p\leq a=g(p)$。 上側の右辺を $R$ とし、$v=(a+1)/(u+1)>0$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} R-a &=\frac{a-u+(u+1)\log\frac{u+1}{a+1}}{u}\\ &=\frac{u+1}{u}(v-1-\log v). \end{aligned}$$ ここで $h(v)=v-1-\log v$ とおけば、$h'(v)=1-1/v$ より $h$ は $v=1$ で最小となり、 $h(1)=0$ である。したがって $R-a\geq0$、すなわち $$\displaystyle g(p)=a\leq R=\frac{u+1}{u}\{p-u+\log(u+1)\}+u.$$

(3) $a=g(p)>0$、$c=a-p=\log(1+a)>0$ とおくと、直線 $\ell$ は $y=x+c$ である。 $x$ 軸との交点は $(-c,0)$、また $\ell(p)=p+c=a$。 $0\leq x\leq p$ なら $x+c\leq a$ だから $$f(x+c)=x+c-\log(1+x+c)\geq x+c-\log(1+a)=x.$$ $f$ の単調増加性から $g(x)\leq x+c$ となり、等号は $x=p$ で成り立つ。 よって求める図形の面積は、直線の下の三角形の面積から曲線の下の面積を引いて $$\displaystyle S=\frac{a^2}{2}-\int_0^p g(x)\,dx.$$ ここで $x=f(t)$ と置換し、$f(a)=p$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^p g(x)\,dx &=\int_0^a t f'(t)\,dt =ap-\int_0^a f(t)\,dt\\ &=ap-\frac{a^2}{2}+(1+a)\log(1+a)-a. \end{aligned}$$ したがって、$c=a-p=\log(1+a)$ より $$\begin{aligned} S &=a^2-ap-(1+a)c+a\\ &=ac-(1+a)c+a =a-c=p. \end{aligned}$$