2東京大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle F(x)=x-1-\log x$ とおくと $$\displaystyle F'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$ したがって $\displaystyle F$ は $\displaystyle 0<x<1$ で減少し、$\displaystyle x>1$ で増加するから、最小値は $\displaystyle F(1)=0$ である。よって $\displaystyle \log x\le x-1$（$\displaystyle x>0$）。

(2) $\displaystyle 1\le x\le2$ とし、$\displaystyle a=\log x,\ t=x^{\frac{1}{n}},\ u=\frac{t-1}{2}$ とおく。このとき $\displaystyle a\ge0,\ t\ge1$ である。(1)を $\displaystyle t$ と $\displaystyle \frac{1}{t}$ に適用し、$\displaystyle \log t=\frac{a}{n}$ を用いると $$\displaystyle \frac an\le t-1\le\frac{ta}{n}, \qquad \frac{a}{2n}\le u\le\frac{ta}{2n}.$$ また(1)を $\displaystyle 1+u$ と $\displaystyle \frac{1}{1+u}$ に適用すると $$\displaystyle \frac{u}{1+u}\le\log(1+u)\le u.$$ $\displaystyle n$ に依らず $\displaystyle t\le t_n=2^{\frac{1}{n}}$ であり、$\displaystyle u\le c_n=\frac{t_n\log2}{2n}$ だから $$\displaystyle \frac{\log x}{2(1+c_n)} \le n\log\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}2\right) \le\frac{t_n\log x}{2}.$$ ここで $\displaystyle t_n\le2$ かつ、(1)を $\displaystyle t_n^{-1}$ に適用すると $$\displaystyle 0\le t_n-1\le t_n\log t_n =\frac{t_n\log2}{n}\le\frac{2\log2}{n}.$$ よって $\displaystyle t_n\to1,\ c_n\to0$。上の不等式を $\displaystyle 1$ から $\displaystyle 2$ まで積分すれば、はさみうちにより $$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}n\int_1^2\log\left(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}2\right)\,dx =\frac12\int_1^2\log x\,dx.$$ さらに $$\displaystyle \int_1^2\log x\,dx=[x\log x-x]_1^2=2\log2-1,$$ したがって求める極限は $\displaystyle \log2-\frac12$ である。