IV横浜市立大学 2010年 数学 第IV問解答・解説

(1) 左側の不等式を示すため、$F(x)=e^x-1-x$ とおく。$F(0)=0$ であり、$x\geq0$ では指数関数は増加するから $$F'(x)=e^x-1\geq0.$$ したがって $F(x)\geq F(0)=0$、すなわち $1+x\leq e^x$ である。

次に $x>0$ に対して $\displaystyle G(x)=\dfrac{e^x-1}{x}$ とおく。このとき $$\displaystyle G'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}.$$ 分子を $H(x)=(x-1)e^x+1$ とすると、$H(0)=0$ かつ $$H'(x)=xe^x\geq0\qquad(x\geq0)$$ だから $H(x)\geq0$。よって $G'(x)\geq0$ であり、$G$ は $0<x\le a$ で増加する。したがって $0<x\leq a$ なら $$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}=G(x)\leq G(a)=\frac{e^a-1}{a}.$$ $x>0$ を掛ければ $\displaystyle e^x\leq1+\dfrac{e^a-1}{a}x$ を得る。$x=0$ では両辺が $1$ となるので、指定された区間全体で成り立つ。

(2) (1)の不等式を $0$ から $a$ まで積分する。(1)の左側は $0<x\leq a$ で厳密な不等式であり、右側は $0<x<a$ で厳密な不等式だから、 $$\displaystyle \int_0^a(1+x)\,dx < \int_0^a e^x\,dx < \int_0^a\left(1+\frac{e^a-1}{a}x\right)\,dx.$$ 各積分を計算すると $$\displaystyle a+\frac{a^2}{2}<e^a-1<a+\frac{a}{2}(e^a-1).$$ 左側に $1$ を加えると $\displaystyle 1+a+\dfrac{a^2}{2}<e^a$。右側に $1$ を加えて整理すると $$\displaystyle e^a<1+a+\frac{a}{2}(e^a-1) =1+\frac{a}{2}(e^a+1).$$ よって示された。

(3) $r=e^{1/3}$ とおく。(2)で $\displaystyle a=\dfrac13$ とすると $$\displaystyle \frac{25}{18}=1+\frac13+\frac{1}{18}<r <1+\frac16(r+1).$$ 右側を整理して $5r<7$、すなわち $\displaystyle r<\dfrac75$ を得る。$r>0$ だから両側を3乗でき、指数法則より $$\displaystyle \left(\frac{25}{18}\right)^3<e=r^3<\left(\frac75\right)^3, \qquad \frac{15625}{5832}<e<\frac{343}{125}.$$ ここで $$15625\cdot25=390625>384912=5832\cdot66, \qquad 343\cdot50=17150<17375=125\cdot139$$ なので $$\displaystyle \frac{66}{25}<e<\frac{139}{50}.$$ $\displaystyle \dfrac{66}{25}=2.64$、$\displaystyle \dfrac{139}{50}=2.78$ より、$2.64<e<2.78$ である。