III横浜市立大学 2010年 数学 第III問解答・解説

まず、$A$ の成分はすべて正であり、積の各成分は正の数の積の和だから、$a_n,b_n,c_n,d_n$ はすべて正である。また、与えられた関係を繰り返すと $$A^n\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\lambda^n\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$$ を得る。実際、$n=1$ で成り立ち、これが成り立つとき $A^{n+1}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} =A^n\left(A\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\right) =\lambda A^n\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} =\lambda^{n+1}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$ である。

(1) この等式の成分を足すと $$\lambda^n(u+v)=u(a_n+c_n)+v(b_n+d_n).$$ 各成分が正で、$v\le u$ だから $$v(a_n+b_n+c_n+d_n)\le \lambda^n(u+v)\le u(a_n+b_n+c_n+d_n).$$ ここで $u,v>0$ より、それぞれ $u$、$v$ で割ると $$\displaystyle \left(1+\frac vu\right)\lambda^n\le a_n+b_n+c_n+d_n\le\left(1+\frac uv\right)\lambda^n$$ となる。

(2) $A^{n+1}=A^nA$ より $$a_{n+1}=aa_n+cb_n,\qquad d_{n+1}=bc_n+dd_n.$$ したがって、$a,d\ge1$ を用いると $$a_{n+1}+d_{n+1}\ge a_n+d_n+cb_n+bc_n.$$ $\displaystyle r=\max\{1/b,1/c\}$、$\displaystyle m=\max\{1,r\}$ とおく。$m\ge1$、$mc\ge1$、$mb\ge1$ だから $$a_n+b_n+c_n+d_n\le m(a_n+d_n+cb_n+bc_n)\le m(a_{n+1}+d_{n+1}).$$ 一方、問題の $M$ は $1+r$ であり、$\displaystyle m=\max\{1,r\}<1+r=M$ である。また $a_{n+1}+d_{n+1}>0$ だから、 $$a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1})$$ を得る。

(3) $K=1+u/v$、$C=(1+v/u)/M$ とおくと、いずれも正である。(1)より $a_n+d_n\le a_n+b_n+c_n+d_n\le K\lambda^n$。また、(2)を $n-1$ に適用し、(1)の下側の評価も用いると、$n\ge2$ について $$\displaystyle C\lambda^{n-1}\le\frac{a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}+d_{n-1}}{M}<a_n+d_n\le K\lambda^n.$$ すべて正なので対数を取り、$n$ で割ると $$\displaystyle \frac{\log C+(n-1)\log\lambda}{n}<\frac1n\log(a_n+d_n)\le\frac{\log K+n\log\lambda}{n}.$$ 左辺、右辺はいずれも $n\to\infty$ で $\log\lambda$ に収束する。よって、はさみうちにより求める極限値は $\log\lambda$ である。