5広島大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) $a_1=2$ は正の有理数である。$a_n$ が正の有理数ならば、$1/a_n$ も正の有理数だから、 $$\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$$ も正の有理数である。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n$ は正の有理数である。

(2) $n=1$ では $a_1=2=\sqrt{2\cdot1+2}$ である。ある自然数 $n$ で $a_n\geq\sqrt{2n+2}$ と仮定する。(1)より $a_n>0$ であり、 $$\displaystyle a_{n+1}^2 =\left(a_n+\frac1{a_n}\right)^2 =a_n^2+2+\frac1{a_n^2} >a_n^2+2 \geq 2n+4 =2(n+1)+2.$$ また $a_{n+1}>0$ なので、$a_{n+1}>\sqrt{2(n+1)+2}$ となる。したがって帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n\geq\sqrt{2n+2}$ である。

(3) 漸化式を二乗すると $$\displaystyle a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}$$ を得る。これを $k=1,\ldots,n-1$ について加え、$a_1^2=4$ を用いると $$\displaystyle a_n^2=2n+2+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac1{a_k^2}$$ となる（$n=1$ のとき和は空和とする）。(2)より $a_k^2\geq 2k+2$ だから、 $$\displaystyle \frac1{a_k^2}\leq\frac1{2(k+1)}.$$ さらに $k\leq x\leq k+1$ では $1/x\geq1/(k+1)$ なので、 $$\displaystyle \frac1{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac{dx}{x} =\log(k+1)-\log k.$$ よって $$\displaystyle a_n^2 \leq 2n+2+\frac12\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac1{k+1} \leq 2n+2+\frac12\sum\limits _{k=1}^{n-1}\bigl(\log(k+1)-\log k\bigr) =2n+2+\frac12\log n.$$ 両辺は非負であるから、平方根をとって $$\displaystyle a_n\leq\sqrt{2n+2+\frac12\log n}$$ を得る。

(4) (3)と、(3)の導出で得た等式より $$\displaystyle 0\leq a_n^2-2n =2+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac1{a_k^2} \leq 2+\frac12\log n.$$ したがって $$\displaystyle 0\leq a_n-\sqrt{2n} =\frac{a_n^2-2n}{a_n+\sqrt{2n}} \leq\frac{2+\frac12\log n}{\sqrt{2n}}.$$ 右辺は、問題文で与えられた $\log n/\sqrt n\to0$ と $1/\sqrt n\to0$ より $0$ に収束する。はさみうちの原理から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(a_n-\sqrt{2n})=0.$$