3広島大学 2026年 数学 第3問解答・解説

すべての面が合同であるから、面 $OAB$ と面 $OBC$ の辺の長さの組は等しい。面 $OAB$ の辺は $\sqrt{2},\sqrt{5},AB$、面 $OBC$ の辺は $\sqrt{5},\sqrt{5},BC$ である。したがって $BC=\sqrt{2},\ AB=\sqrt{5}$ となる。同様に面 $OAB$ と面 $OAC$ の合同性から $AC=\sqrt{5}$ である。

(1)　 $|\vec a|^2=2,\quad |\vec b|^2=|\vec c|^2=5,\quad AB^2=AC^2=5,\quad BC^2=2$. よって

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-AB^2}{2}=\frac{2+5-5}{2}=1$,　　 $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=\frac{|\vec b|^2+|\vec c|^2-BC^2}{2}=\frac{5+5-2}{2}=4$,　　 $\displaystyle \vec c\cdot\vec a=\frac{|\vec c|^2+|\vec a|^2-CA^2}{2}=\frac{5+2-5}{2}=1$.

したがって

$\displaystyle [AOB]=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\frac12\sqrt{2\cdot5-1}=\frac32$.

(2)　 $\vec{OH}=\vec a+s(\vec b-\vec a)+t(\vec c-\vec a)=(1-s-t)\vec a+s\vec b+t\vec c$.

$\vec{OH}\perp\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ より

$0=\vec{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=-1+5s+4t$.

実際、$\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=1-2=-1$、$|\vec b-\vec a|^2=AB^2=5$、$(\vec c-\vec a)\cdot(\vec b-\vec a)=4-1-1+2=4$ である。同様に $\vec{OH}\perp\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$ より

$0=\vec{OH}\cdot(\vec c-\vec a)=-1+4s+5t$.

これらを解くと $\displaystyle s=t=\frac{1}{9}$ である。

(3)　 $\displaystyle \vec{OH}=\frac{7\vec a+\vec b+\vec c}{9}$ より

$\displaystyle OH^2=\frac{|7\vec a+\vec b+\vec c|^2}{81}=\frac{49\cdot2+5+5+14\cdot1+14\cdot1+2\cdot4}{81}=\frac{16}{9}$.

長さは正であるから $\displaystyle OH=\frac{4}{3}$。

(4)　 直線CHと辺ABの交点をPとおく。$\displaystyle \vec{OH}=\frac{7\vec a+\vec b+\vec c}{9}$ である。$P$ は $AB$ 上にあるので、ある実数 $u$ に対して $\vec{OP}=(1-u)\vec a+u\vec b$ と表せる。また $C,H,P$ は一直線上にあるので、ある実数 $v$ に対して $\vec{OH}=(1-v)\vec c+v\vec{OP}$ と表せる。$\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を比べると $\displaystyle 1-v=\frac19$、$\displaystyle vu=\frac19$ だから $\displaystyle v=\frac89,\ u=\frac18$ である。したがって $AP:PB=u:(1-u)=1:7$ となる。

平面 $OCH$ は $CP$ を含み、四面体を $OACP$ と $OBCP$ に分ける。両者の高さは共通だから、体積比は底面積比 $[ACP]:[BCP]=AP:PB=1:7$ である。底面 $ABC$ は面 $AOB$ と合同なので $\displaystyle [ABC]=\frac32$。よって四面体全体の体積は

$\displaystyle V_{OABC}=\frac13\cdot\frac32\cdot\frac43=\frac23$.

小さい方は全体の $\displaystyle \frac18$ だから、求める体積は $\displaystyle \frac18\cdot\frac23=\boxed{\frac1{12}}$。