2東北大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$\lvert\vec a\rvert=\lvert\vec b\rvert=\lvert\vec c\rvert=1$ であり、与えられた角から $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\cos60^\circ=\frac12,\qquad \vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

(1) $H$ は平面 $OAB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b$ とおく。$CH\perp OAB$ より $\vec c-\overrightarrow{OH}$ は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直である。したがって $$\displaystyle x+\frac y2=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \frac x2+y=\frac{\sqrt2}{2}.$$ この二式から $\displaystyle x=y=\frac{\sqrt2}{3}$ を得る。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b).$$

(2) $OH\perp CH$ なので三角形 $OHC$ に三平方の定理を用いる。また $$\displaystyle OH^2=\left|\frac{\sqrt2}{3}(\vec a+\vec b)\right|^2 =\frac29\left(|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b\right) =\frac29(1+1+1)=\frac23.$$ したがって $\displaystyle CH^2=OC^2-OH^2=1-\frac23=\frac13$ であり、$\displaystyle CH=\frac{\sqrt3}{3}$。

(3) 底面を三角形 $OAB$ とすると、その面積は $$\displaystyle [OAB]=\frac12\,OA\cdot OB\sin\angle AOB=\frac12\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{4}.$$ 高さは $\displaystyle CH=\frac{\sqrt3}{3}$ だから、四面体の体積は $$\displaystyle V_{OABC}=\frac13[OAB]\,CH =\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{3} =\frac1{12}.$$