3東北大学 2013年 数学 第3問解答・解説

各投擲の目は1〜6の6通りで、投擲結果は独立である。

(1) Aが2回目の投擲で勝つため、Aの1投目を$a_1$、2投目を$a_2$とする。Aが1投目で勝たない条件は$a_1\le5$。Bの1投目も勝たない必要があり、その目は5通りである。1から5までのいずれかに固定した $a_1$ に対し、$a_1+a_2\ge6$となる$a_2$の数は$a_1+1$通りだから、該当するAの出目対は $$2+3+4+5+6=20$$ 通り。全3投の列は$6^3$通りなので、 $$\displaystyle P_1=\frac{20\cdot5}{6^3}=\frac{25}{54}.$$

(2) Bが2回目の投擲で勝つには、Aの2投後も勝っておらず、Bの1投目も勝っていないことが必要である。Aの2投の和が5以下となる順序対は $$4+3+2+1=10$$ 通り。Bの1投目を $b_1$ とすると、その値は1から5までのいずれかであり、2投目で合計6以上にする目は$b_1+1$通りであり、その合計は $$2+3+4+5+6=20.$$ よって $$\displaystyle P_2=\frac{10\cdot20}{6^4}=\frac{25}{162}.$$

(3) Bの3投目終了時にもゲームが続いていることと、A・Bそれぞれの3投の合計が5以下であることは同値である。各人の3投の目は正なので、合計が3,4,5となる順序列数はそれぞれ1,3,6、合計10通り。したがって全6投のうち該当する確率は $$\displaystyle P_3=\left(\frac{1+3+6}{6^3}\right)^2=\frac{100}{46656}=\frac{25}{11664}.$$

(1)ではAの初回非勝利と次投の勝ち条件、Bの初回非勝利を数える。(2)ではAが2投しても合計5以下で、Bの2投目が勝利する場合を数える。(3)は双方の3投合計が5以下であることとゲーム継続が同値である。