5東北大学 2013年 数学 第5問解答・解説

$r=1/\sqrt2$ とする。 $$A=\begin{pmatrix}-r&-r\\r&-r\end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad A^3=\begin{pmatrix}r&-r\\r&r\end{pmatrix}.$$ したがって $$A^4=A^3A =\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E.$$

$\displaystyle p_n=\binom{x_n}{y_n}$, $\displaystyle q=\binom10$ とおく。漸化式 $p_n=Ap_{n-1}+q$ と $p_0=q$ から、帰納法により $$p_n=(E+A+A^2+\cdots+A^n)q.$$ $S_n=E+A+\cdots+A^n$ とすると、隣接項が消去されて $$S_n(E-A)=E-A^{n+1}.$$ また $A^4=-E$ より $$(E-A)(E+A+A^2+A^3) =(E+A+A^2+A^3)(E-A) =E-A^4=2E.$$ したがって $$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac12(E+A+A^2+A^3)$$ であり、上の式の右から $(E-A)^{-1}$ を掛ければ $$p_n=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}q$$ を得る。

さらに $A^8=E$ かつ $$E+A+A^2+\cdots+A^7=0$$ なので、$p_{n+8}=p_n$。$0\le n\le7$ の値は $$\begin{array}{c|c|c} n&p_n&OP_n^2\\ \hline 0&(1,0)&1\\ 1&(1-r,r)&2-\sqrt2\\ 2&(1-r,r-1)&3-2\sqrt2\\ 3&(1,\sqrt2-1)&4-2\sqrt2\\ 4&(0,\sqrt2-1)&3-2\sqrt2\\ 5&(r,r-1)&2-\sqrt2\\ 6&(r,r)&1\\ 7&(0,0)&0 \end{array}$$ である。$4-2\sqrt2>1$ であり、他の平方距離はすべて $1$ 以下だから、この周期内では $n=3$ のとき距離が最大となる。従って最大となるすべての $n$ は $$n\equiv3\pmod8,\qquad n=8k+3\quad(k=0,1,2,\ldots).$$

$\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt2}$ とすると $A^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$A^3=\begin{pmatrix}r&-r\\r&r\end{pmatrix}$、$A^4=-E$。$p_n=(x_n,y_n)^T$、$q=(1,0)^T$ とおくと $p_n=(E+A+\cdots+A^n)q$。有限和に $E-A$ を右から掛けると $E-A^{n+1}$ となり、$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{E+A+A^2+A^3}{2}$ を得るので指定式が成り立つ。$A^8=E$ および $E+A+\cdots+A^7=O$ から $p_n$ は8周期。$n=0,\ldots,7$ の $OP_n^2$ は $1,2-\sqrt2,3-2\sqrt2,4-2\sqrt2,3-2\sqrt2,2-\sqrt2,1,0$ で、$4-2\sqrt2>1$。他は1以下なので $n\equiv3\pmod8$ が最大となり、最大距離は $\sqrt{4-2\sqrt2}$。