1徳島大学 2002年 数学 第1問解答・解説

$$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&0\\0&a^2+bc\end{pmatrix}=E$$ より $A^2+A-E=A$。従って $k=1$ とすればよい。

$P=xA+yE$ とすると $$P^2=(x^2+y^2)E+2xyA.$$ $b\ne0$ より $A$ と $E$ は一次独立である。よって $P^2+P-E=A$ と同値な条件は $$2xy+x=1,\qquad x^2+y^2+y-1=0.$$ $\displaystyle t=y+\tfrac12$ とおけば $2xt=1$ なので $t\ne0$、$x=1/(2t)$。もう一方の式は $\displaystyle x^2+t^2=\tfrac54$ となり、 $$\displaystyle \frac1{4t^2}+t^2=\frac54.$$ $z=t^2>0$ と置くと $4z^2-5z+1=0$、すなわち $z=1$ または $\displaystyle z=\tfrac14$。したがって $\displaystyle t=\pm1,\pm\tfrac12$。対応する $(x,y)$ は $$\displaystyle (1,0),\quad(-1,-1),\quad\left(\tfrac12,\tfrac12\right),\quad\left(-\tfrac12,-\tfrac32\right).$$

$a^2+bc=1$より$A^2=E$。$P^2+P-E$を$A$と$E$の一次結合にまとめ、$b\ne0$を使って係数を比較する。$\displaystyle t=y+\frac12$と置くと$t^2=1$または$\displaystyle t^2=\frac14$となり、対応する四組が全解。