I慶應義塾大学 2009年 数学 第I問解答・解説

(1)　 x>2 より x-2>0 である。 y$\geq$$\displaystyle \dfrac{x}{x-2}$ と x+y$\leq$6 が両立するためには、$\displaystyle \dfrac{x}{x-2}$$\leq$6-x が必要十分である。分母は正なので両辺に x-2 を掛けると、 x^2-7x+12$\leq$0、すなわち (x-3)(x-4)$\leq$0 となり、 3$\leq$ x$\leq$4 である。この範囲で、固定した x に対し 3x+2y は y とともに増加するから、最大値を与えるとき y=6-x であり、 3x+2y=x+12$\leq$16 となる。 x=4,y=2 は条件を満たすので最大値は 16 である。最小値については t=x-2 とおくと 1$\leq$ t$\leq$2 であり、 y$\geq$ x/(x-2) から 3x+2y$\geq$3(t+2)+2(t+2)/t=8+3t+4/t$\geq$8+4$\sqrt3$ となる。最後の不等式は正の数 3t と 4/t に相加相乗平均を用いた。等号は t=2/$\sqrt3$、すなわち x=2+2/$\sqrt3$、 y=x/(x-2)=1+$\sqrt3$ で成立し、この組は全条件を満たす。よって最小値は 8+4$\sqrt3$ である。　 (2)(i)　 自然数 m の桁数を k とすると 10^{k-1}$\leq$ m<10^k である。常用対数を取れば k-1$\leq$$\log_{10}$m<k だから、 k=$\left[\log_{10}m\right]$+1 である。　 (ii)　 $L=\log_{10}3$ とおく。$3^n$ の桁数は $k_n=\lfloor nL\rfloor+1$ である。一般に実数 $u$ に対して $u-1<\lfloor u\rfloor\leq u$ だから、$$nL<k_n\leq nL+1.$$ここで本問ではさらに $nL$ は整数ではない。実際、もし整数 $m$ を用いて $nL=m$ と表せるなら $3^n=10^m$ となる。$n$ は自然数なので $m>0$ であり、右辺は偶数、左辺は奇数で矛盾する。したがって上の右側も厳密に $k_n<nL+1$ と書ける。いずれの評価でも $$\displaystyle L<\frac{k_n}{n}\leq L+\frac1n$$ と挟めるので、はさみうちにより $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}k_n/n=L=\log_{10}3$ である。　 (3)　 $A=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$ とおく。$B^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ であり、$A^2=B^2$ の各成分を比べると u^2+vw=5, v(u+z)=4, w(u+z)=4, vw+z^2=5 となる。中央の二式から u+z$\ne$0 および v=w が従う。また最初と最後の式の差から (u-z)(u+z)=0 なので u=z である。$u=z=t$ とおけば v=w=2/t、また t$\ne$0 であり、最初の式は t^2+4/t^2=5、すなわち (t^2-1)(t^2-4)=0 となる。従って t=1,-1,2,-2 である。対応する行列は答案に掲げた四つであり、いずれも二乗すると$\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ になる。