1日本大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $\sqrt5>\sqrt3$より、$\left|\sqrt3-\sqrt5\right|=\sqrt5-\sqrt3$である。$d=\sqrt5-\sqrt3$とおくと、 $$d^3=(\sqrt5-\sqrt3)(8-2\sqrt{15})=14\sqrt5-18\sqrt3.$$ また、 $$\displaystyle \frac1{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{\sqrt5+\sqrt3}{2},\qquad \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}=7+4\sqrt3.$$ したがって、与式は $$\displaystyle \frac{14\sqrt5-18\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt5+\sqrt3}{2}+7+4\sqrt3=7+4\sqrt5.$$

(2) $x\ge1$では$x^2-3|x-1|-7=x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$だから、条件を満たす範囲は$1\le x\le4$である。$x<1$では$x^2-3|x-1|-7=x^2+3x-10=(x+5)(x-2)$だから、条件を満たす範囲は$-5\le x<1$である。両方を合わせて $$-5\le x\le4.$$

(3) $2^x=5^y$の両辺の常用対数をとると、$x\log_{10}2=y\log_{10}5$である。よって$y=cx$、ただし$\displaystyle c=\dfrac{0.3010}{0.6990}$である。$xy\ne0$なので、$\displaystyle \dfrac1x+\dfrac1y=1$に$xy$を掛けて$x+y=xy$とできる。$y=cx$を代入し、$x\ne0$であることを用いると $$\displaystyle x=\frac{1+c}{c}=1+\frac{0.6990}{0.3010}\doteq3.32226.$$ したがって小数第2位まででは$x=3.32$である。

(4) 1回の抽出で白玉が出る確率は$\displaystyle \dfrac25$、赤玉が出る確率は$\displaystyle \dfrac35$である。3回目が白玉である確率に、残り4回で少なくとも1回白玉が出る確率を掛ければよい。よって $$\displaystyle \frac25\left\{1-\left(\frac35\right)^4\right\}=\frac25\cdot\frac{544}{625}=\frac{1088}{3125}.$$

(5) $\displaystyle f^{-1}(x)=\dfrac1{x^2}\;(x>0)$である。$h$が0に十分近ければ分母の各引数は正であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{f^{-1}(\sqrt6+2h)-f^{-1}(\sqrt6-h)}h &=\frac{(\sqrt6-h)^2-(\sqrt6+2h)^2}{h(\sqrt6+2h)^2(\sqrt6-h)^2}\\ &=-\frac{3(2\sqrt6+h)}{(\sqrt6+2h)^2(\sqrt6-h)^2}. \end{aligned}$$ したがって極限値は$\displaystyle -\dfrac{6\sqrt6}{36}=-\dfrac1{\sqrt6}$である。

(6) $\displaystyle \sqrt3\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)$である。積分区間では$\displaystyle x=\dfrac\pi3$で符号が変わり、前半で正、後半で負となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\pi/6}^{4\pi/3}\left|\sqrt3\cos x-\sin x\right|\,dx &=2\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos\left(x+\frac\pi6\right)dx-2\int_{\pi/3}^{4\pi/3}\cos\left(x+\frac\pi6\right)dx\\ &=2\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)+4=6-\sqrt3. \end{aligned}$$

(7) $|\vec p|=1$より$\vec p=(\cos\theta,\sin\theta)$と表す。$\displaystyle \vec p\cdot\vec u\ge\dfrac23$は$\displaystyle \cos\theta\ge\dfrac23$である。$\theta_0$を$\displaystyle \cos\theta_0=\dfrac23$、$\displaystyle 0<\theta_0<\dfrac\pi2$で定めると、$\theta$は$-\theta_0\le\theta\le\theta_0$にとれる。また$\vec a=3(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$なので、$\vec a\cdot\vec p=3\cos(\theta-\theta_0)$である。ここで$-2\theta_0\le\theta-\theta_0\le0$、かつ$\displaystyle \cos 2\theta_0=2\cdot\dfrac49-1=-\dfrac19$であるから、内積の最小値は$\displaystyle -\dfrac13$であり、これは$\theta=-\theta_0$で得られる。したがって $$\displaystyle |\vec a-\vec p|^2=|\vec a|^2+|\vec p|^2-2\vec a\cdot\vec p\le 9+1+\frac23=\frac{32}{3},$$ 等号は$\displaystyle \vec p=(\frac23,-\frac{\sqrt5}{3})$で成立する。求める最大値は$\displaystyle \dfrac{4\sqrt6}{3}$である。

(8) 接線の傾きを$m$とすると、その直線は$y-1=m(x-2)$、すなわち$y=mx+1-2m$である。これを楕円の式に代入すると $$(4+m^2)x^2+2m(1-2m)x+(1-2m)^2-1=0$$ となる。接する条件はこの二次方程式の判別式が0となることである。判別式を4で割ると $$m^2(1-2m)^2-4m(m-1)(4+m^2)=m(16-15m)=0.$$ よって傾きは$\displaystyle m=0,\dfrac{16}{15}$であり、大きいほうは$\displaystyle \dfrac{16}{15}$である。したがって接線は $$\displaystyle y-1=\frac{16}{15}(x-2),\qquad 16x-15y=17.$$