2日本大学 2010年 数学 第2問解答・解説

(1) 頂点が$(0,1)$で軸が$y$軸である放物線を$y=1+cx^2$とおく。点$A(\alpha,\cos\alpha)$を通るから$c=(\cos\alpha-1)/\alpha^2$であり、 $$\displaystyle y=1+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}x^2.$$

(2) $0<\alpha<\pi/2$より$\cos\alpha>0$であり、放物線は$0\le x\le\alpha$の範囲で$x$軸より上にある。したがって面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S(\alpha)&=\int_0^\alpha\left(1+\frac{\cos\alpha-1}{\alpha^2}x^2\right)dx\\ &=\alpha+\frac{\alpha(\cos\alpha-1)}3=\frac{\alpha(2+\cos\alpha)}3. \end{aligned}$$

(3) 直線$l$の式は$\displaystyle y=\dfrac{\cos\alpha}{\alpha}x$である。$0\le x\le\alpha$では$\displaystyle \cos x\ge\cos\alpha\ge \dfrac{x}{\alpha}\cos\alpha$なので、求める面積は曲線と直線の差の積分である。 $$\displaystyle T(\alpha)=\int_0^\alpha\left(\cos x-\frac{\cos\alpha}{\alpha}x\right)dx=\sin\alpha-\frac{\alpha\cos\alpha}{2}.$$ よって $$\displaystyle \frac{T(\alpha)}{S(\alpha)}=\frac{3\left(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}-\dfrac{\cos\alpha}{2}\right)}{2+\cos\alpha}\longrightarrow\frac{3(1-1/2)}{3}=\frac12 \qquad(\alpha\to0),$$ ただし$\displaystyle \lim\limits _{\alpha\to0}\sin\alpha/\alpha=1$を用いた。