3奈良県立医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

放物線は原点を通り、図よりもう一つの $x$ 軸との交点は $Q=(-\sqrt{2},0)$ である。これを $y=\sqrt{2}x^2+ax$ に代入すると $0=2\sqrt{2}-a\sqrt{2}$ だから $a=2$ である。この放物線は $-\sqrt{2}\le x\le 0$ で $x$ 軸の下側にあるので、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle -\int_{-\sqrt{2}}^0(\sqrt{2}x^2+2x)\,dx =-\left[\frac{\sqrt{2}}{3}x^3+x^2\right]_{-\sqrt{2}}^0 =\frac{2}{3}$$ となる。

円 $C_1,C_2$ の方程式はそれぞれ $x^2+y^2=2$、$(x+1)^2+y^2=1$ である。差をとると $2x+2=0$、よって $x=-1$ であり、$C_1$ の式から $y=\pm1$ を得る。したがって交点は $(-1,1),(-1,-1)$ である。

$P=(-1,1)$ と $Q=(-\sqrt{2},0)$ に対し、半径 $\sqrt{2}$ の円 $C_1$ の中心角 $\angle POQ$ は $\pi/4$ である。よって扇形 $A$ の面積は $$\displaystyle \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$ である。

図形 $B$ の $x$ 座標の範囲は $-\sqrt{2}\le x\le0$ である。共通部分の下側の境界は、$-\sqrt{2}\le x\le-1$ では $C_1$ の下側の円弧、$-1\le x\le0$ では $C_2$ の下側の円弧となる。実際、両円の縦方向の半径の平方の差は $\{2-x^2\}-\{1-(x+1)^2\}=2+2x$ で符号が $x=-1$ で変わる。$C_1$ の下側円弧のうち $Q$ から $(-1,-1)$ までの下側の面積は、扇形 $QO(-1,-1)$ の面積 $\pi/4$ から三角形 $O(-1,0)(-1,-1)$ の面積 $1/2$ を引いた $\pi/4-1/2$ である。また、$C_2$ の下側円弧の $(-1,-1)$ から $O$ までの下側の面積は半径 $1$ の四分円の面積 $\pi/4$ である。これらから放物線と $x$ 軸で囲まれる面積 $2/3$ を引けば $$\displaystyle B=\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3} =\frac{\pi}{2}-\frac{7}{6}$$ を得る。