4奈良県立医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 中心間距離が $\sqrt{14}$ の2球（半径 $\sqrt{14}$ と $t$）が円で交わる条件は $$|\sqrt{14}-t|<\sqrt{14}<\sqrt{14}+t.$$ これは $0<t<2\sqrt{14}$ と同値。従って $\boxed{0<t<2\sqrt{14}}$。

(2) $X=(x,y,z)$ が $C_A$ 上にあるとき $$|X|^2=14,\qquad |X-A|^2=t^2$$ なので $28-2A\cdot X=t^2$、すなわち交円を含む平面は $A\cdot X=(28-t^2)/2$。この平面と原点の距離は $$\displaystyle d=\frac{|28-t^2|}{2|A|}=\frac{|28-t^2|}{2\sqrt{14}}.$$ 従って交円の半径 $r$ は $$\displaystyle r=\sqrt{14-d^2} =\sqrt{14-\frac{(28-t^2)^2}{56}} =\boxed{\frac{t\sqrt{56-t^2}}{2\sqrt{14}}}.$$

(3) $C_A,C_B$ の共有点 $X$ は $$\displaystyle |X|^2=14,\qquad A\cdot X=B\cdot X=c,\qquad c=\frac{28-t^2}{2}$$ を満たす。$A+B=(5,4,3)$ で、$|A+B|^2=50$ および $A\cdot(A+B)=B\cdot(A+B)=25$。さらに $v=(5,-1,-7)$ とおくと、$A\cdot v=B\cdot v=0$、$|v|^2=75$。従って2平面の交線は $$\displaystyle X=X_0+\lambda v,\qquad X_0=\frac{c}{25}(A+B),$$ と表せる。$X_0$ は $v$ と垂直なので、この直線が半径 $\sqrt{14}$ の球面と交わる条件は $$\displaystyle |X_0|^2=\frac{c^2}{625}|A+B|^2=\frac{2c^2}{25}\le14,$$ すなわち $|c|\le5\sqrt7$。$t$ が0から増えると $c=(28-t^2)/2$ は14から減るため、共有が初めて起こるのは $c=5\sqrt7$ のときである。よって最小値は $$\boxed{t=\sqrt{28-10\sqrt7}}.$$ このとき直線は球面に接し、共有点は $X=X_0$ のみ。座標は $$\displaystyle \boxed{X=\frac{\sqrt7}{5}(5,4,3) =\left(\sqrt7,\frac{4\sqrt7}{5},\frac{3\sqrt7}{5}\right)}.$$

(4) $X$ が3円すべてに属すれば $|X|^2=14$ かつ $$|X-A|^2=|X-B|^2=|X-C|^2=t^2.$$ $|A|=|B|=|C|$ より、これらの式を引くと $A\cdot X=B\cdot X=C\cdot X$。従って $X$ は $A-B=(-1,2,-1)$ と $B-C=(2,-1,-1)$ の両方に垂直。対応する2式を引くと $x=y$、これを代入すると $z=x$ なので $X=s(1,1,1)$ と書ける。$|X|^2=14$ から $s=\pm\sqrt{14/3}$。さらに $A\cdot X=6s$ だから $$t^2=28-2A\cdot X=28-12s=28\mp4\sqrt{42}.$$ 従って可能な $t$ は $\sqrt{28-4\sqrt{42}}$ と $\sqrt{28+4\sqrt{42}}$ の2つである。$\sqrt{42}<7$ より $0<28-4\sqrt{42}<28+4\sqrt{42}<56$ なので、どちらも(1)の範囲内。最小値は $$\boxed{\sqrt{28-4\sqrt{42}}}.$$