8千葉大学 2019年 数学 第8問解答・解説

$a=BC,\ b=CA,\ c=AB,\ d=AD$ とおき、$\theta=\angle BAD$ とする。条件から $b+c=2a$、半周長は $\displaystyle s=\frac{3a}{2}$ である。

まず角の二等分線の定理より $BD:DC=c:b$。直線 $AD$ を $x$ 軸にとると、$B=(c\cos\theta,c\sin\theta)$、$C=(b\cos\theta,-b\sin\theta)$ と表せる。内分点の公式から $$\displaystyle D=\frac{bB+cC}{b+c}=\left(\frac{2bc\cos\theta}{b+c},0\right),$$ したがって $\displaystyle d=\frac{2bc\cos\theta}{b+c}=\frac{bc\cos\theta}{a}$。

内接円の半径が $4$ なので、三角形の面積 $K$ は $$\displaystyle K=rs=6a=\frac12bc\sin(2\theta)=bc\sin\theta\cos\theta.$$ よって $$\displaystyle \sin\theta=\frac{K}{ad}=\frac{6a}{15a}=\frac25.$$ 三角形の内角から $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ なので $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{21}}5$。倍角公式により $$\displaystyle \sin A=\sin(2\theta)=\frac{4\sqrt{21}}{25},\qquad \cos A=\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta=\frac{17}{25}.$$

最後に余弦定理を使うと $$\begin{aligned} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A\\ &=(b+c)^2-2bc(1+\cos A)\\ &=4a^2-2bc(1+\cos A), \end{aligned}$$ したがって $3a^2=2bc(1+\cos A)$。また $d=15$ より $bc/a=15/\cos\theta$、さらに $1+\cos A=2\cos^2\theta$ だから $$\displaystyle 3a=\frac{30(1+\cos A)}{\cos\theta}=60\cos\theta, \qquad a=20\cos\theta=4\sqrt{21}.$$