4東京慈恵会医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

・ 曲面 $S$ の方程式は $y=x^2+z^2$ である。$S$ 上の点を $A=(x_A,y_A,z_A)$ とすると $$OA^2=x_A^2+y_A^2+z_A^2=y_A+y_A^2.$$ 正四面体なので $OA=OB=OC$。また $y_A,y_B,y_C\ge0$ で、$y\mapsto y^2+y$ はこの範囲で増加するから $y_A=y_B=y_C=:h$ である。従って $A,B,C$ は平面 $y=h$ 上の、中心 $(0,h,0)$、半径 $R=\sqrt h$ の円上にある。三点は互いに距離が等しいため正三角形で、その一辺を $s$ とすると $s=\sqrt3R$。一方 $OA=s$ だから $$s^2=h^2+h,\qquad s^2=3R^2=3h.$$ $h>0$ より $h=2$、従って $s=\sqrt6$。

・ 以下、底面 $ABC$ の平面 $y=2$ 内で、その円の中心を原点とする座標 $(u,v)$ をとる。この円の半径は $R=\sqrt2$。切り口の底面側は、中心を通る直線と正三角形 $ABC$ の交わりである。底面の正三角形を $$A=(R,0),\quad B=(-R/2,\sqrt3R/2),\quad C=(-R/2,-\sqrt3R/2)$$ と置く。条件の回転対称性と反射対称性により、直線の方向角を $0\le\theta\le\pi/3$ としてよい。このとき正方向の半直線は辺 $AB$、負方向の半直線は辺 $BC$ と交わるから、中心から交点までの距離はそれぞれ $$\displaystyle \frac{R}{\cos\theta+\sqrt3\sin\theta} =\frac{R}{2\cos(\pi/3-\theta)},\qquad \frac{R}{2\cos\theta}.$$ 従って交わりの長さを $L$ とすると $$\displaystyle L=\frac R2\left(\sec\theta+\sec\left(\frac\pi3-\theta\right)\right).$$ $\alpha=\theta,\ \beta=\pi/3-\theta,\ t=\cos((\alpha-\beta)/2)$ とおく。$0\le\alpha,\beta\le\pi/3$ なので $0<t\le1$ であり、 $$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta=\sqrt3t,\qquad \cos\alpha\cos\beta=t^2-\frac14>0.$$ したがって $$\displaystyle \sec\alpha+\sec\beta =\frac{\sqrt3t}{t^2-\frac14} \ge\frac4{\sqrt3},$$ ここで不等式は $(4t+1)(t-1)\le0$ と同値である。等号は $t=1$、すなわち $\alpha=\beta=\pi/6$ のとき成立する。よって $$\displaystyle L_{\min}=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt6}{3}.$$ 切り口は頂点 $O$ とこの交わりの両端を頂点とする三角形で、その底辺は $L$、底面 $y=2$ までの高さは2である。面積は $\displaystyle \frac12\cdot L\cdot2=L$ だから、最小値は $\displaystyle \frac{2\sqrt6}{3}$。