1東京慈恵会医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

・ 操作前の袋 $A$ には白玉が1個、赤玉が3個ある。最初に $A$ から移す2個に白玉が含まれない確率は $\displaystyle \binom32/\binom42=1/2$、白玉が1個含まれる確率も $1/2$ である。

・ 白玉を移さない場合、$A$ に白玉が1個残り、$B$ は白玉3個・赤玉3個となる。次に $B$ から2個移すとき、少なくとも1個が白玉である確率は $\displaystyle 1-\binom32/\binom62=4/5$。この場合に $A$ の白玉が2個以上となる。

・ 白玉を1個移す場合、$A$ に白玉は残らず、$B$ は白玉4個・赤玉2個となる。次に2個とも白玉である確率は $\displaystyle \binom42/\binom62=2/5$。これが $A$ の白玉が2個以上となる条件である。

よって求める確率は $$\displaystyle \frac12\cdot\frac45+\frac12\cdot\frac25=\frac35.$$

・ 1回の操作後に袋 $A$ にある白玉数を $w$ とする。上の二つの場合で2個目に $B$ から移す白玉数を場合分けすると $$\displaystyle \Pr(w=0,1,2,3,4)=\left(\frac1{30},\frac{11}{30},\frac12,\frac1{10},0\right).$$ 次の操作後に $A$ が白玉だけになるには、最初に $A$ から移す2個の後に白玉が2個残り、続いて $B$ から白玉2個を移す必要がある。現在の白玉数が $w=2,3,4$ のとき、最初の2個の選び方の確率は順に $$\displaystyle \frac{\binom22}{\binom42}=\frac16,\qquad \frac{\binom11\binom31}{\binom42}=\frac12,\qquad 1.$$ このいずれの場合も、その後 $B$ には白玉が2個、全体で6個の玉があるため、次に白玉2個を戻す確率は $\displaystyle \binom22/\binom62=1/15$。よって $$\displaystyle \Pr(\text{2回後にAが白玉だけ}) =\frac12\cdot\frac16\cdot\frac1{15} +\frac1{10}\cdot\frac12\cdot\frac1{15} =\frac1{180}+\frac1{300} =\frac2{225}.$$