3昭和大学 2020年 数学 第3問解答・解説

A_Q3 — MM-9c7dc39ac663-Q3

(1-1)

双曲線の式を標準形に直すと $$\displaystyle \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1.$$ したがって $a^2=16,\ b^2=9$ の上下に開く双曲線で、焦点距離 $c$ は $$c^2=a^2+b^2=16+9=25,\qquad c=5.$$ よって焦点の座標は $$(0,5),\quad(0,-5).$$

(1-2)

標準形 $\displaystyle \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ の漸近線は、右辺の定数を除いた式 $$\displaystyle \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=0$$ から求まる。これを因数分解すると $$\displaystyle \left(\frac y4-\frac x3\right)\left(\frac y4+\frac x3\right)=0.$$ したがって漸近線は $$\displaystyle y=\frac43x,\qquad y=-\frac43x.$$

(2-1)

AからBへ移す球が赤である確率は $\displaystyle \frac47$、白である確率は $\displaystyle \frac37$ である。赤を移せばBは赤4個・白4個となり、その後Bから赤を引く確率は $\displaystyle \frac48$。白を移せばBは赤3個・白5個となり、その確率は $\displaystyle \frac38$。場合分けして $$\displaystyle P(\text{赤}) =\frac47\cdot\frac48+\frac37\cdot\frac38 =\frac{16+9}{56} =\frac{25}{56}.$$

(2-2)

球はこの小問の操作中には戻さない。Aから1個目に移した球を $T_1$、Bから1個目に取り出した球を $D_1$、2回目にBから取り出した球を $D_2$ とする。求める確率は $P(D_1=R,D_2=R)$ である。

まず $T_1$ が赤なら、その確率は $\displaystyle \frac47$。このときBは赤4個・白4個なので $$\displaystyle P(D_1=R\mid T_1=R)=\frac48=\frac12.$$ さらに $D_1=R$ の後はBが赤3個・白4個、Aが赤3個・白3個となる。2回目の移動球が赤なら（確率 $\displaystyle \frac12$）、Bから赤を引く確率は $\displaystyle \frac48=\frac12$。白なら（確率 $\displaystyle \frac12$）、その確率は $\displaystyle \frac38$。したがって $$\displaystyle P(D_2=R\mid T_1=R,D_1=R) =\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac38=\frac7{16}.$$ この場合の寄与は $$\displaystyle \frac47\cdot\frac12\cdot\frac7{16}=\frac18.$$

次に $T_1$ が白なら、その確率は $\displaystyle \frac37$。このときBは赤3個・白5個なので $$\displaystyle P(D_1=R\mid T_1=W)=\frac38.$$ $D_1=R$ の後はBが赤2個・白5個、Aが赤4個・白2個となる。2回目の移動球が赤である確率は $\displaystyle \frac46=\frac23$ で、その場合Bから赤を引く確率は $\displaystyle \frac38$。白である確率は $\displaystyle \frac26=\frac13$ で、その場合の確率は $\displaystyle \frac28=\frac14$。よって $$\displaystyle P(D_2=R\mid T_1=W,D_1=R) =\frac23\cdot\frac38+\frac13\cdot\frac14=\frac13.$$ この場合の寄与は $$\displaystyle \frac37\cdot\frac38\cdot\frac13=\frac3{56}.$$ 以上から $$\displaystyle P(D_1=R,D_2=R)=\frac18+\frac3{56}=\frac5{28}.$$

(2-3)

Aから移した赤球の個数を $K$ とする。Aから2個を戻さずに移すので $$\displaystyle P(K=0)=\frac{\binom32}{\binom72}=\frac17,\quad P(K=1)=\frac{\binom41\binom31}{\binom72}=\frac47,\quad P(K=2)=\frac{\binom42}{\binom72}=\frac27.$$ $K=k$ のとき、移した後のBには赤 $3+k$ 個、全体で9個ある。そこから2個とも赤を引く確率は $$\displaystyle \frac{\binom{3+k}{2}}{\binom92}.$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{2個とも赤}) &=\frac17\cdot\frac{\binom32}{\binom92} +\frac47\cdot\frac{\binom42}{\binom92} +\frac27\cdot\frac{\binom52}{\binom92}\\ &=\frac17\cdot\frac1{12} +\frac47\cdot\frac16 +\frac27\cdot\frac5{18} =\frac{47}{252}. \end{aligned}$$

使用解法

双曲線の標準形と焦点・漸近線、場合分けによる全確率、順次取り出しの条件付き確率、組合せによる無作為抽出を用いた。