1東京慈恵会医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1)　 一回の試行で選ぶ二枚のカードの組は$\displaystyle \binom42=6$通りで、二回の順序付きの選び方は$6^2=36$通りである。赤玉が入った箱の番号の集合を考える。同じ色の玉が入った二箱を選んでも配置は変わらず、どの配置でもその選び方は、赤同士と白同士の二通りある。異なる色の二箱を選ぶと配置が変わる。最初の赤玉の箱は$\{1,3\}$である。最初の配置に戻る二回の選び方は、一回目も二回目も同色の二箱を選ぶ$2\cdot2=4$通りと、一回目に異色の二箱を選び、二回目にその同じ二箱を選んで戻す$4\cdot1=4$通りである。したがって$$\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac{4+4}{36}=\frac29}.$$

赤玉を$\{1,2\}$の箱に移す場合を数える。$\{1,3\}$のまま一回目を終える選び方は二通りで、その後に$2$番と$3$番の箱を選ぶ一通りがある。逆に一回目に$2$番と$3$番の箱を選んで目標配置にした場合、二回目に同色の箱を選ぶ方法が二通りある。残る場合は、一回目の赤玉の箱が$\{1,4\}$または$\{2,3\}$となる各一通りであり、いずれも二回目の異色交換で目標配置へ移る。よって有利な選び方は$2+2+1+1=6$通りで、$$\displaystyle \boxed{\text{イ}=\frac6{36}=\frac16}.$$

(2)　 $\displaystyle \phi=\theta+\frac\pi3$とおく。三角関数の加法定理を実部と虚部に適用すると、$$z=(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta)+i(\sin\theta+\sqrt3\cos\theta)=2(\cos\phi+i\sin\phi).$$ここで$\displaystyle \frac\pi3\leq\phi\leq\pi$である。したがって$$\displaystyle \begin{aligned}|\sqrt2z-1+i|^2&=(2\sqrt2\cos\phi-1)^2+(2\sqrt2\sin\phi+1)^2\\&=10+4\sqrt2(\sin\phi-\cos\phi)\\&=10+8\sin\left(\phi-\frac\pi4\right)\leq18.\end{aligned}$$等号は$\displaystyle \phi=\frac{3\pi}{4}$、すなわち$\displaystyle \theta=\frac{5\pi}{12}$で成り立ち、この値は指定された範囲内にある。ゆえに$$\boxed{\text{ウ}=\sqrt{18}=3\sqrt2}.$$