2東京慈恵会医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1)(i) 円板の中心は速度1で右へ進み、半径は2なので、滑らずに回転するときの時計回りの回転角は $t/2$ である。時刻0の $P$ の中心からの位置ベクトルは $(0,-1)$。これを時計回りに $t/2$ 回転すると $(-\sin(t/2),-\cos(t/2))$ となる。中心 $D=(t,2)$ を加えると $$\displaystyle (x,y)=\left(t-\sin\frac t2,\ 2-\cos\frac t2\right).$$

(1)(ii) 微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-\frac12\cos\frac t2\ge\frac12>0, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac12\sin\frac t2.$$ よって $x$ は単調増加する。時刻は $t\ge0$ であり、$y$ は $4k\pi<t<(4k+2)\pi$ で増加し、$(4k+2)\pi<t<(4k+4)\pi$ で減少する（$k=0,1,2,\ldots$）。$t=4k\pi$ で最小値1、$t=(4k+2)\pi$ で最大値3をとる。

(2) $u=t/2$ とし、$P=(x,y)$ とする。接線の方向ベクトルは $$\displaystyle P'(t)=\left(1-\frac12\cos u,\ \frac12\sin u\right)=\left(\frac y2,\ \frac12\sin u\right).$$ 法線上で $x$ 軸上にある点を $M=(m,0)$ とすれば、$(M-P)\cdot P'(t)=0$ より $$\displaystyle (m-x)\frac y2-y\frac12\sin u=0.$$ $y=2-\cos u\ge1$ なので $m=x+\sin u=t$。従って $M=(t,0)$。$M$ が $PQ$ の中点だから $Q=2M-P$ であり、 $$\displaystyle Q=\left(t+\sin\frac t2,\ \cos\frac t2-2\right).$$ $t=0$ でも $Q=(0,-1)$ となり、指定された値と一致する。

(3) $T=3\pi$ とする。このとき $P(T)=(3\pi+1,2)$、$Q(T)=(3\pi-1,-2)$ である。境界は $C_1$ を $t=0$ から $T$ へたどり、法線分を $P(T)$ から $Q(T)$ へ進み、$C_2$ を逆向きにたどり、最後に $y$ 軸を通る。$x$ 方向の短冊による符号付き面積を境界に沿って加えると、法線分の寄与は $\displaystyle \frac{2+(-2)}2((3\pi-1)-(3\pi+1))=0$、$y$ 軸の寄与も0である。$C_1$ の $y\,dx$ の積分と、逆向きにたどる $C_2$ の寄与を合わせれば、面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{3\pi}\left(2-\cos\frac t2\right)\left(1-\frac12\cos\frac t2\right)dt +\int_0^{3\pi}\left(2-\cos\frac t2\right)\left(1+\frac12\cos\frac t2\right)dt\\ &=2\int_0^{3\pi}\left(2-\cos\frac t2\right)dt =2\left[2t-2\sin\frac t2\right]_0^{3\pi}=12\pi+4. \end{aligned}$$