5山形大学 2020年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }f(x)-g(x)=\cos^2x-(1-\sin x)=\sin x(1-\sin x).\text{したがって }\sin x=0\text{ または }1\text{ となり、}\quad x=0,\frac{\pi}{2},\pi,2\pi.\quad\text{(2) }f\prime(x)=-2\sin x\cos x,\quad g\prime(x)=-\cos x.\text{よって}\quad f\prime=g\prime\text{すなわち}\cos x(1-2\sin x)=0,\text{したがって}\quad x=\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}.\quad\text{(3) }\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\text{ より}\quad\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C.\quad\text{(4)(i) }f-g=\sin x(1-\sin x)\text{ は }0\le x\le\pi\text{ で非負、}\pi\le x\le2\pi\text{ で非正だから}\quad |D|=\int_0^\pi(f-g)\,dx+\int_\pi^{2\pi}(g-f)\,dx=\left(2-\frac\pi2\right)+\left(2+\frac\pi2\right)=4.\quad\text{(4)(ii) }P(x)=-\cos x-\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}\text{ を }f-g\text{ の原始関数とする。}\quad S(t)=\int_t^\pi(f-g)\,dx+\int_\pi^{t+\pi}(g-f)\,dx=2-\frac\pi2+t-\frac12\sin2t.\text{したがって}\quad h(t)=S(t)-\frac t2=2-\frac\pi2+\frac t2-\frac12\sin2t,\quad h\prime(t)=\frac12-\cos2t.\text{臨界点は }t=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}.\quad h\prime\prime(t)=2\sin2t\text{ なので }t=\frac\pi6\text{ で極小、}t=\frac{5\pi}{6}\text{ で極大。値は}\quad h(\frac\pi6)=2-\frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{4},\quad h(\frac{5\pi}{6})=2-\frac\pi{12}+\frac{\sqrt3}{4}.$$