6山形大学 2020年 数学 第6問解答・解説

放物線 $y=x^2/2$ のPにおける接線は $y=sx-s^2/2$。楕円へ代入すると $$(1+4s^2)x^2-4s^3x+s^4-1=0.$$ (1) 異なる2交点をもつ条件は判別式が正： $$\Delta=16s^6-4(1+4s^2)(s^4-1)=4(1+4s^2-s^4)>0.$$ $u=s^2>0$ とすると $u^2-4u-1<0$。根は $2\pm\sqrt5$ で、$2-\sqrt5<0$ より $0<s<\sqrt{2+\sqrt5}$。

(2) 交点のx座標を解とすると和は $4s^3/(1+4s^2)$。Dはその中点で接線上にあるから $$\displaystyle x_D=\frac{2s^3}{1+4s^2},\qquad y_D=sx_D-\frac{s^2}{2}=-\frac{s^2}{2(1+4s^2)}.$$

(3) $OD$ の傾きは $y_D/x_D=-1/(4s)$。したがって $OD:y=-x/(4s)$。これと $x=s$ の交点は $E=(s,-1/4)$。

(4) $F=(0,-s^2/2)$、反射点 $E'=(s,1/4)$ より $$\displaystyle k=\frac{1/4+s^2/2}{s}=\frac{s}{2}+\frac1{4s} \ge\frac1{\sqrt2},$$ 最後は $(\sqrt2s-1)^2\ge0$ による。等号 $s=1/\sqrt2$ は(1)の範囲内。

(5) $FG=(1+s^2)/2$、Pからy軸までの距離はsなので $$\displaystyle S_1=\frac{s(1+s^2)}4.$$ またP,Eは同じx座標をもち $PE=(1+2s^2)/4$、Dから直線PEまでの距離は $s-x_D=s(1+2s^2)/(1+4s^2)$。よって $$\displaystyle S_2=\frac{s(1+2s^2)^2}{8(1+4s^2)},\qquad \frac{S_1}{S_2}=2+\frac{2s^2}{1+4s^2+4s^4}.$$ $u=s^2>0$ とすれば $1+4u+4u^2\ge4u$（差は $(2u-1)^2$）。従って比は $9/4$ 以下で、等号は $u=1/2$、すなわち $s=1/\sqrt2$。この値は(1)の範囲内にある。