1山形大学 2020年 数学 第1問解答・解説

各投げ方は確率$2^{-N}$で等確率であり、点$(x,y)$に着くには$x$回表、$y$回裏が出る。

（1）3回で$(3,0)$に着くのは3回とも表の場合だけなので、確率は$\displaystyle 2^{-3}=\frac18$である。

（2）10回で$(7,3)$に着くには表が7回、裏が3回必要である。したがって$$\displaystyle \frac{\binom{10}{3}}{2^{10}}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}.$$

（3）$(3,1)$は4投目に到達し、そこから$(5,5)$までには表2回、裏4回が必要である。よって該当する列は$$\displaystyle \binom41\binom62=60$$ 通りであり、求める確率は$\displaystyle \frac{60}{2^{10}}=\frac{15}{256}$である。

（4）$(6,4)$に着く全列は$\displaystyle \binom{10}{4}=210$通りである。そのうち$(3,3)$を通る列は、6投目までに表3回・裏3回、その後に表3回・裏1回となるので$$\displaystyle \binom63\binom41=80$$ 通り。したがって$(3,3)$を通らない確率は$$\displaystyle \frac{210-80}{2^{10}}=\frac{130}{1024}=\frac{65}{512}.$$

（5）（i）最初の4投が表2回・裏2回なら$(2,2)$に到達して原点に戻る。最初の4投がこの形でない場合は、4投後にどちらかの座標が3以上となり、その後は$(2,2)$に到達しない。この場合は10投後の$x$座標が表の総数である。表が6回以上の列は$$\displaystyle \sum\limits _{j=6}^{10}\binom{10}{j}=386$$ 通り。そのうち最初の4投が表2回・裏2回である列は、最初の4投が$\displaystyle \binom42=6$通り、残り6投で表が4回以上となる場合なので$$\displaystyle 6\sum\limits _{j=4}^{6}\binom6j=6\cdot22=132$$ 通り。よって最初の4投でリセットしない場合の該当列は$386-132=254$通りである。最初の4投でリセットする場合、残り6投がすべて表なら最終の$x$座標が6となり、該当列は6通り。したがって求める確率は$$\displaystyle \frac{254+6}{2^{10}}=\frac{260}{1024}=\frac{65}{256}.$$

（5）（ii）10投後に$(5,5)$にあるなら、10回の移動が一度も取り消されていない必要があるため、リセットは起きていない。表5回・裏5回の全列は$\displaystyle \binom{10}{5}=252$通り。最初の4投が表2回・裏2回でリセットする列は$$\displaystyle \binom42\binom63=6\cdot20=120$$ 通りだから、条件となる列は$252-120=132$通りである。

リセットなしで$(3,4)$を通って$(5,5)$に着く全列は、最初の7投で表3回・裏4回、その後の3投で表2回・裏1回となるので$$\displaystyle \binom73\binom32=105$$ 通り。そのうち最初の4投が表2回・裏2回でリセットする列は、次の3投が表1回・裏2回、その後の3投が表2回・裏1回となる$$\displaystyle \binom42\binom31\binom32=6\cdot3\cdot3=54$$ 通りである。したがって条件を満たす列は$105-54=51$通りであり、条件付き確率は$$\displaystyle \frac{51}{132}=\frac{17}{44}.$$