6京都大学 2003年 数学 第6問解答・解説

全対戦結果は $\displaystyle 2^{\binom{n}{2}}$ 通りで等確率である。

条件を満たす2チームを $A,B$ とし、$A$ が $B$ に勝つとする。$B$ は $A$ にだけ負け、他の全チームに勝つ。$A$ の唯一の敗戦相手を $C$ とすると、$C$ は $A$ に勝ち $B$ に負ける。$C$ が残る $n-3$ チームとの対戦に全勝すると $n-2$ 勝となり3チーム目になるので、その対戦結果は全勝以外の $2^{n-3}-1$ 通り。残る $n-3$ チーム間の対戦結果は $\displaystyle 2^{\binom{n-3}{2}}$ 通り自由である。

$\{A,B\}$ の選び方は $\displaystyle \binom{n}{2}$ 通り、どちらが勝つかは2通り、$C$ の選び方は $n-2$ 通りである。これらは条件を満たす各対戦結果に一意に定まる。さらに他の各チームは $A,B$ の両方に負けるため $n-2$ 勝にはならない。よって有利な場合の数は $$\displaystyle \binom{n}{2}\cdot 2(n-2)\cdot 2^{\binom{n-3}{2}}(2^{n-3}-1).$$ したがって $$\displaystyle P=\frac{\binom{n}{2}\cdot2(n-2)\cdot2^{\binom{n-3}{2}}(2^{n-3}-1)}{2^{\binom{n}{2}}}=\frac{n(n-1)(n-2)(2^{n-3}-1)}{2^{3n-6}}.$$