3京都大学 2003年 数学 第3問解答・解説

位置ベクトルを $a=\overrightarrow{OA},\ b=\overrightarrow{OB},\ c=\overrightarrow{OC}$ とする。条件(i)より $a\cdot(c-b)=0,\ b\cdot(a-c)=0,\ c\cdot(b-a)=0$ なので $a\cdot b=a\cdot c=b\cdot c=t$ とおける。辺長を $|a|=x,\ |b|=y,\ |c|=z$ とおく。二辺 u,v が作る三角形の面積 S は $\displaystyle S^2=\frac{|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2}{4}$ である。これは底辺を |u|、他方の辺の射影成分を (u·v)/|u| としたときの高さを三平方の定理で表せば得られる。条件(ii)によって特に三面 OAB, OBC, OCA の面積が等しいので、$x^2y^2-t^2=x^2z^2-t^2=y^2z^2-t^2$。よって $x^2y^2=x^2z^2=y^2z^2$ であり、$x,y,z>0$ から $x=y=z=\ell$。さらに $|AB|^2=|a-b|^2=2\ell^2-2t$、$|BC|^2=|b-c|^2=2\ell^2-2t$、$|CA|^2=|c-a|^2=2\ell^2-2t$ だから ABC は一辺 s の正三角形といえる。三角形 OAB は二辺 OA=OB=ℓ の二等辺三角形で、底辺 AB=s。底面 ABC と側面 OAB の面積が等しい。底面の面積は (√3/4)s² なので、OからABへの高さを h とすれば $\displaystyle \frac{sh}{2}=\frac{\sqrt3}{4}s^2$、すなわち $\displaystyle h=\frac{\sqrt3}{2}s$。二等辺三角形の高さは底辺の中点を通るから、三平方の定理より $\displaystyle \ell^2=h^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2=\frac{3s^2}{4}+\frac{s^2}{4}=s^2$。従って $\ell=s$。全6辺が同じ長さとなり、OABCは正四面体である。