2新潟大学 2014年 数学 第2問解答・解説

正四面体の各辺は1であるから、$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ かつ $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12$ である。(1)　 $AP:PB=2:1$ より、$$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\vec a+2\vec b}{3}.$$ また $CQ:QP=3:1$ なので、$$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec c+3\overrightarrow{OP}}{4}=\frac{\vec a+2\vec b+\vec c}{4}.$$ よって、$$\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|^2=\frac1{16}\bigl(|\vec a|^2+4|\vec b|^2+|\vec c|^2+4\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c+4\vec b\cdot\vec c\bigr)=\frac{11}{16},$$ したがって $\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|=\frac{\sqrt{11}}4$。(2)　 $R$ は直線 $OC$ 上にあるので $\overrightarrow{OR}=t\vec c$ とおく。条件 $\overrightarrow{QR}\perp\overrightarrow{OC}$ より、$$\displaystyle 0=\overrightarrow{QR}\cdot\vec c=\left(t\vec c-\frac{\vec a+2\vec b+\vec c}{4}\right)\cdot\vec c=t-\frac{\frac12+2\cdot\frac12+1}{4}=t-\frac58.$$ ゆえに $\displaystyle t=\frac58$。$|\vec c|=1$ だから $\displaystyle |\overrightarrow{OR}|=\frac58$、$\displaystyle |\overrightarrow{RC}|=1-\frac58=\frac38$ で、比は $5:3$。(3)　 $\overrightarrow{QR}\perp\vec c$ であり、$\overrightarrow{OQ}$ の $\vec c$ 方向成分の長さは $\displaystyle \overrightarrow{OQ}\cdot\vec c=\frac58$ である。したがって、$$\displaystyle |\overrightarrow{QR}|^2=|\overrightarrow{OQ}|^2-(\overrightarrow{OQ}\cdot\vec c)^2=\frac{11}{16}-\frac{25}{64}=\frac{19}{64},\qquad |\overrightarrow{QR}|=\frac{\sqrt{19}}8.$$ 三角形 $OQR$ で底辺を $OR$、高さを $QR$ とすると、$$\displaystyle [\triangle OQR]=\frac12\cdot\frac58\cdot\frac{\sqrt{19}}8=\frac{5\sqrt{19}}{128}.$$