2山形大学 2014年 数学 第2問解答・解説

・ $A$ を原点とする位置ベクトルで考える。内分比より $Q$ は $BC$ を $BQ:QC=1:2$ に内分するから $$\displaystyle \overrightarrow{AQ}=\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3} =\frac{2\vec b+\vec c}{3}.$$

・ $\displaystyle P=\frac13\vec b,\ R=\frac23\vec c$ である。$BR$ 上の点を $$\displaystyle (1-t)\vec b+\frac{2t}{3}\vec c$$ と表す。一方、$Q$ を通り $AC$ に平行な直線上の点は $$\displaystyle \frac23\vec b+\left(\frac13+\lambda\right)\vec c$$ と表せる。係数を比較すると $\displaystyle t=\frac13,\ \lambda=-\frac19$。よって $\displaystyle V=Q-\frac19\vec c$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{VQ}=\frac19\vec c.$$

・ $T$ は $AQ$ 上かつ $BR$ 上にあるので $$\displaystyle \overrightarrow{AT}=\frac{\mu}{3}(2\vec b+\vec c) =(1-t)\vec b+\frac{2t}{3}\vec c.$$ 係数比較から $\displaystyle \mu=2t,\ \frac{4t}{3}=1-t$、したがって $\displaystyle t=\frac37,\ \mu=\frac67$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{AT}=\frac67\cdot\frac{2\vec b+\vec c}{3} =\frac{4\vec b+2\vec c}{7}.$$

・ $S$ は $AQ$ 上かつ $CP$ 上にある。$CP$ 上の点は $$\displaystyle \frac{s}{3}\vec b+(1-s)\vec c$$ と表せるので $$\displaystyle \frac{\mu}{3}(2\vec b+\vec c) =\frac{s}{3}\vec b+(1-s)\vec c.$$ 係数比較から $\displaystyle s=2\mu,\ \frac{\mu}{3}=1-2\mu$、よって $\displaystyle \mu=\frac37$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{AS}=\frac37\cdot\frac{2\vec b+\vec c}{3} =\frac{2\vec b+\vec c}{7}.$$

・ 同様に、$U$ を直線 $CP$ と直線 $BR$ の交点とする。$BR$ 上の表示を $\displaystyle (1-t)\vec b+\frac{2t}{3}\vec c$、$CP$ 上の表示を $\displaystyle \frac{s}{3}\vec b+(1-s)\vec c$ とすると、係数比較より $s=3(1-t)$、$\displaystyle \frac{2t}{3}=1-s=3t-2$。よって $\displaystyle t=\frac67$ であり $$\displaystyle \overrightarrow{AU}=\frac17\vec b+\frac47\vec c.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{ST}=\frac{2\vec b+\vec c}{7},\qquad \overrightarrow{SU}=\frac{-\vec b+3\vec c}{7}.$$ $\vec b\perp\vec c,\ |\vec b|=1,\ |\vec c|=\sqrt3$ より $$\displaystyle |ST|^2=\frac{4|\vec b|^2+|\vec c|^2}{49}=\frac17,\qquad |SU|^2=\frac{|\vec b|^2+9|\vec c|^2}{49}=\frac47.$$ また $$\displaystyle \overrightarrow{ST}\cdot\overrightarrow{SU} =\frac{-2|\vec b|^2+3|\vec c|^2}{49}=\frac17, \quad \cos\angle TSU=\frac{1/7}{(1/\sqrt7)(2/\sqrt7)}=\frac12.$$ よって $$\displaystyle |ST|=\frac1{\sqrt7},\quad |SU|=\frac2{\sqrt7},\quad \angle TSU=60^\circ.$$ 三角形の面積は $$\displaystyle \frac12|ST||SU|\sin60^\circ =\frac12\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{14}.$$