1山形大学 2014年 数学 第1問解答・解説

赤を $R$、白を $W$ とし、$p=2/3,q=1/3$ とおく。毎回玉を戻すので試行は独立である。

(1) 1回の変位の期待値は $p-q=1/3$。期待値の加法性から、2回後の座標の期待値は $2(p-q)=2/3$。

(2) 座標の偶奇は試行回数と同じなので、2に初めて到達できるのは偶数回目。2回目に到達するのは $RR$ で確率 $p^2=4/9$。4回目に初めて到達するには、最初の2回が $RW$ または $WR$ で原点に戻り、その後 $RR$ となる。確率は $2pq\cdot p^2=2p^3q=16/81$。従って4回以内に到達する確率は $$\displaystyle \frac49+\frac{16}{81}=\frac{52}{81}.$$

(3) $u_m$ を「m回後に原点にいて、それまで一度も $\pm2$ に到達していない」確率とする。$u_0=1,u_1=0$。原点から2回で安全に原点へ戻る並びは $RW,WR$ の2通りで、確率は $2pq=4/9$。従って $u_m=(4/9)u_{m-2}$（$m\ge2$）、すなわち偶数 $m=2r$ では $u_m=(4/9)^r$、奇数では0。

n回後も安全で座標0にいる確率は $u_n$。座標が $1$ または $-1$ で安全にいるには、n−1回後に原点にいて最後の1回を動く必要があり、その確率は $u_{n-1}$。従って求める確率は $$\displaystyle u_n+u_{n-1}=\left(\frac49\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.$$

(4) 奇数回後は座標の偶奇から2に到達できない。$n=2r$ とする。n−2回後は、過去に $\pm2$ に達していない条件のもとで座標0でなければならず、最後の2回は $RR$ でなければならない。従って確率は $$\displaystyle u_{n-2}p^2=\left(\frac49\right)^{r-1}\frac49 =\left(\frac49\right)^{n/2}.$$