3琉球大学 2015年 数学 第3問解答・解説

各回のくじ引きは独立で、当たりの確率は $p$、はずれの確率は $1-p$ である。$n$ 回目で試行を終えるのは、$n$ 回目に当たり、それ以前の $n-1$ 回に当たりがちょうど $1$ 回出ている場合である。先行する $n-1$ 回のうち、その $1$ 回の位置は $n-1$ 通りあり、各場合の確率は $p(1-p)^{n-2}p$ である。これらは互いに重ならないから、$$p_n=(n-1)p^2(1-p)^{n-2}\qquad(n\ge 2).$$ よって、$n=2,3,4$ を代入すると、$$p_2=p^2,\qquad p_3=2p^2(1-p),\qquad p_4=3p^2(1-p)^2.$$ 次に、$k=2,3,\ldots,N$ について「$k$ 回目で試行を終える」事象は互いに排反であり、その和事象は $N$ 回までに当たりが $2$ 回以上出ることである。その余事象は、$N$ 回のうち当たりが $0$ 回または $1$ 回出る事象である。当たりが $0$ 回の確率は $(1-p)^N$、当たりがちょうど $1$ 回の確率は、当たりの位置が $N$ 通りあるので $Np(1-p)^{N-1}$ である。したがって、$$\displaystyle\sum\limits _{k=2}^{N}p_k=1-(1-p)^N-Np(1-p)^{N-1}\qquad(N\ge 2).$$