2琉球大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$f$は偶関数なので、$x\ge0$で増減を調べる。$0<x<1$では $$\displaystyle f=x\sqrt{1-x^2},\qquad f'=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$ したがって正の区間で$0$から$1/\sqrt2$までは増加し、その後$1$までは減少。偶対称により負の区間は$-1$から$-1/\sqrt2$で増加し、$-1/\sqrt2$から$0$で減少する。$f(\pm1/\sqrt2)=1/2$、$f(-1)=f(0)=f(1)=0$なので最大値$1/2$、最小値$0$。積分は偶関数性で$\displaystyle 2\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx$とし、$u=1-x^2$と置換すると $$\displaystyle \int_0^1\sqrt{u}\,du=\frac23.$$