4熊本大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$3x^2+x^3=x^2(x+3)$ であり、定義域 $x\geq -3$ では $f(x)=|x|\sqrt{x+3}$ となる。

(問1) $-3<x<0$ では $f(x)=-x\sqrt{x+3}$ だから、$$\displaystyle f'(x)=-\sqrt{x+3}-\frac{x}{2\sqrt{x+3}}=-\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}.$$ よって $-3<x<-2$ で $f'(x)>0$、$-2<x<0$ で $f'(x)<0$ である。また $x>0$ では $f(x)=x\sqrt{x+3}$ より $$\displaystyle f'(x)=\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}=\frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}>0.$$ したがって $x=-2$ で極大となり、$f(-2)=2\sqrt1=2$ である。

(問2) $-3<x<0$ では $x+3>0$ なので、積分区間の端点を微分すると $$F'(x)=f(x+3)-f(x)=(x+3)\sqrt{x+6}+x\sqrt{x+3}.$$ ここで $y=x+3$ とおくと $0<y<3$ であり、$$F'(x)=y\sqrt{y+3}-(3-y)\sqrt y.$$ この二つの項はともに非負で、$$\{y\sqrt{y+3}\}^2-\{(3-y)\sqrt y\}^2=9y(y-1)$$ となる。したがって $-3<x<-2$ では $F'(x)<0$、$-2<x<0$ では $F'(x)>0$ であるから、最小値は $x=-2$ でとる。

端点では、$u=t+3$ と置換して$$\displaystyle F(-3)=\int_{-3}^{0}(-t)\sqrt{t+3}\,dt=\int_0^3(3-u)\sqrt u\,du=\frac{12\sqrt3}{5},$$ $$\displaystyle F(0)=\int_0^3t\sqrt{t+3}\,dt=\int_3^6(u-3)\sqrt u\,du=\frac{12}{5}(\sqrt6+\sqrt3).$$ よって $F(0)>F(-3)$ であり、最大値は $x=0$ でとる。さらに$$\displaystyle \begin{aligned}F(-2)&=\int_{-2}^{0}(-t)\sqrt{t+3}\,dt+\int_0^1t\sqrt{t+3}\,dt\\&=\int_1^3(3-u)\sqrt u\,du+\int_3^4(u-3)\sqrt u\,du\\&=\left(\frac{12\sqrt3}{5}-\frac85\right)+\left(\frac{12\sqrt3}{5}-\frac{16}{5}\right)=\frac{24}{5}(\sqrt3-1).\end{aligned}$$ 以上より、求める最大値は $\displaystyle \frac{12}{5}(\sqrt6+\sqrt3)$、最小値は $\displaystyle \frac{24}{5}(\sqrt3-1)$ である。