5北海道大学 2013年 数学 第5問解答・解説

(1) 定義式で $x$ を $x/2$ に置き換えると、$\displaystyle F(x/2)=\int_0^x t f(x-t)\,dt$ である。$s=x-t$ と置換すれば、積分区間は $t=0$ から $x$ が $s=x$ から $0$ に変わり、$dt=-ds$ だから、$\displaystyle F(x/2)=\int_x^0 (x-s)f(s)(-ds)=\int_0^x (x-s)f(s)\,ds$ を得る。

(2) $G(u)=F(u/2)$ とおく。(1)より $\displaystyle G(u)=\int_0^u (u-s)f(s)\,ds=u\int_0^u f(s)\,ds-\int_0^u sf(s)\,ds$ である。$f$ は連続だから、微積分の基本定理と積の微分法により $\displaystyle G'(u)=\int_0^u f(s)\,ds$、さらに $G''(u)=f(u)$。一方 $G''(u)=F''(u/2)/4$ なので、$F''(u/2)=4f(u)$。$u=2x$ とすれば $F''(x)=4f(2x)$。

(3) $F(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおく。定義から $F(0)=0$ であり、(2)の途中で得た $\displaystyle F'(x)=2\int_0^{2x} f(s)\,ds$ から $F'(0)=0$ だから $d=c=0$。また (2)より $f(t)=F''(t/2)/4=3at/4+b/2$。条件 $F(1)=1$、$f(1)=1$ はそれぞれ $a+b=1$、$3a/4+b/2=1$ を与える。これを解くと $a=2$、$b=-1$。したがって $F(x)=2x^3-x^2$、$f(x)=3x/2-1/2$ であり、両条件も満たす。