3北海道大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) 元の式から $z(w+1)=w-1$，従って $w(1-z)=1+z$。 $z=1$ はこの式を満たさないので $$\displaystyle \boxed{w=\frac{1+z}{1-z}}.$$ $\Delta=(1-x)^2+y^2>0$ とおいて分母を実数化すると $$\displaystyle w=\frac{(1+x+iy)(1-x+iy)}{\Delta} =\frac{1-x^2-y^2+2iy}{\Delta}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{s=\frac{1-x^2-y^2}{\Delta},\qquad t=\frac{2y}{\Delta}}.$$

(2) 分母は正なので，$0\le s\le1$ は $x^2+y^2\le1$ と $x^2+y^2\ge x$ に，$0\le t\le1$ は $y\ge0$ と $(x-1)^2+(y-1)^2\ge1$ にそれぞれ同値である。 従って求める領域は $$\boxed{\begin{gathered} y\ge0,\quad x^2+y^2\le1,\quad (x-1/2)^2+y^2\ge1/4,\\ (x-1)^2+(y-1)^2\ge1,\qquad(x,y)\ne(1,0). \end{gathered}}$$ 境界は $(-1,0),(0,0),(1/5,2/5),(0,1)$ をこの順に結ぶ線分・円弧からなる。 最初は実軸の線分，続いて中心 $(1/2,0)$，中心 $(1,1)$，中心 $(0,0)$ の円の該当する弧である。これらの境界と内部を含む。 各頂点は $w=0,1,1+i,i$ の像である。図では実線境界を含めて色を付けた部分が $D$。$(1,0)$ は不等式だけなら残るが，分母が0になるので必ず除く。

(3) $w=s+it$，$0\le s,t\le1$ から直接実部・虚部を求めると $$\displaystyle x=\frac{s^2+t^2-1}{(s+1)^2+t^2},\qquad y=\frac{2t}{(s+1)^2+t^2}.$$ $L=-5x+y$ とおけば $$\displaystyle \begin{aligned} 5L+3&=\frac{28-22s^2-22t^2+6s+10t}{(s+1)^2+t^2}\\ &=\frac{(1-s)(22s+16)+(1-t)(22t+12)}{(s+1)^2+t^2}\ge0. \end{aligned}$$ 等号は $s=t=1$ のとき，かつそのときに限り成り立つ。このとき 点 $(x,y)=(1/5,2/5)$ は領域 $D$ 内にある。 従って最小値は $\boxed{-3/5}$。