4岡山大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) l の方向ベクトルは (1,t) なので、これに垂直な方向ベクトルは (t,-1) とできる。$\overrightarrow{OP}$ は l に垂直だから、$P=\lambda(t,-1)$ とおく。 l の方程式は tx-y+2-t=0 である。これに P を代入すると $$\lambda(t^2+1)+2-t=0.$$ $t^2+1>0$ より $\displaystyle \lambda=\dfrac{t-2}{t^2+1}$ となる。したがって $$\displaystyle P=\left(\frac{t(t-2)}{t^2+1},\frac{2-t}{t^2+1}\right).$$

(2) $D=t^2+1$ とおいて (1) の座標を $2x^2-ay=0$ に代入すると $$\displaystyle 2x^2-ay=\frac{(t-2)H(t)}{D^2},\qquad H(t)=2t^3+(a-4)t^2+a.$$ $t=2$ のとき $P=(0,0)$ であり、これは常にこの二次曲線上にある。一方、$H(2)=5a\ne0$ なので、$t=2$ は $H(t)=0$ の解ではない。$t\ne2$ なら $y\ne0$ で、(1) から $x/y=-t$ だから、異なる $t$ は異なる点 $P$ を与える。従って共有点がちょうど3点となる条件は、$H(t)=0$ がちょうど2個の異なる実数解をもつことである。

このとき、重解を $r$、もう一つの解を $s$ とおけば、$r\ne s$ で $$H(t)=2(t-r)^2(t-s)$$ と表せる。$H(0)=a\ne0$ より $r\ne0$。係数を比較すると $$r^2+2rs=0,\qquad a-4=-2(2r+s),\qquad a=-2r^2s.$$ 最初の式と $r\ne0$ から $\displaystyle s=-\dfrac r2$。これを残りの式に代入して $$a=4-3r,\qquad a=r^3.$$ よって $$r^3+3r-4=0,\qquad (r-1)(r^2+r+4)=0.$$ $r^2+r+4$ の判別式は $-15<0$ なので、実数解は $r=1$ だけであり、$a=1$。このとき $$H(t)=2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1)$$ となるから、共有点を与える媒介変数は $\displaystyle t=2,1,-\dfrac12$ である。それぞれを (1) に代入すると $$\displaystyle t=2:(0,0),\qquad t=1:\left(-\frac12,\frac12\right),\qquad t=-\frac12:(1,2).$$ 以上より、$a=1$、共有点は $\displaystyle (0,0),\left(-\dfrac12,\dfrac12\right),(1,2)$ である。